Exercice 34 Type Bac

Partie A : position relative.

1. $h(x)=x-1-\ln(x)$ donne $h'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}$. Sur $[1\,;\mathrm{e}]$, le dénominateur est strictement positif et le numérateur est positif : $$\boxed{h'(x)\geqslant 0 \text{ sur } [1\,;\mathrm{e}]}$$

2. $h(1)=1-1-\ln(1)=0$ et $h(\mathrm{e})=\mathrm{e}-1-1=\mathrm{e}-2\approx 0{,}718$.

3. La fonction $h$ est croissante sur $[1\,;\mathrm{e}]$ et vaut $0$ en $1$ : elle est donc positive sur tout l'intervalle. Or $h(x)=(x-1)-\ln(x)$ : $$\boxed{\text{Sur } [1\,;\mathrm{e}],\; \mathcal{D} \text{ est au-dessus de } \mathcal{C}}$$ Les deux courbes se touchent en $x=1$, au point de coordonnées $(1\,;0)$.

Partie B : calcul de l'aire.

4. On écrit $\ln(x)=1\times\ln(x)$ : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=\ln(x) \\[2mm] u'(x)=\dfrac{1}{x} \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v'(x)=1 \\[2mm] v(x)=x \end{array}\right.$$

5. $$\int_{1}^{\mathrm{e}}(x-1)\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{2}}{2}-x\right]_{1}^{\mathrm{e}} =\left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\mathrm{e}\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right) =\boxed{\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\mathrm{e}+\frac{1}{2}\approx 1{,}476}$$

6. La droite étant au-dessus de la courbe, l'aire est l'intégrale de la différence : $$\begin{aligned} \mathcal{A} &= \int_{1}^{\mathrm{e}}\Big((x-1)-\ln(x)\Big)\mathrm{d}x = \int_{1}^{\mathrm{e}}(x-1)\,\mathrm{d}x-\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln(x)\,\mathrm{d}x \\ &= \left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\mathrm{e}+\frac{1}{2}\right)-1 = \boxed{\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}-\mathrm{e}-\frac{1}{2}\approx 0{,}476 \text{ u.a.}} \end{aligned}$$

Partie C : valeur moyenne.

7. $$\mu=\frac{1}{\mathrm{e}-1}\int_{1}^{\mathrm{e}}\ln(x)\,\mathrm{d}x =\boxed{\frac{1}{\mathrm{e}-1}\approx 0{,}582}$$

8. La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur $[1\,;\mathrm{e}]$, où elle varie de $0$ à $1$. Comme $0<\mu<1$, le théorème des valeurs intermédiaires assure qu'il existe un unique réel $c$ de $[1\,;\mathrm{e}]$ tel que $\ln(c)=\mu$ : $$\boxed{c=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}-1}}\approx 1{,}789}$$