Exercice 35 Type Bac

Partie A : étude de $f$.

1. $f$ est un produit : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=x+1 \\[2mm] u'(x)=1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v(x)=\mathrm{e}^{-x} \\[2mm] v'(x)=-\mathrm{e}^{-x} \end{array}\right.$$

$$f'(x)=\mathrm{e}^{-x}-(x+1)\mathrm{e}^{-x}=\big(1-x-1\big)\mathrm{e}^{-x}=\boxed{-x\,\mathrm{e}^{-x}}$$ Sur $[0\,;+\infty[$, on a $-x\leqslant 0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc : $$\boxed{f \text{ est décroissante sur } [0\,;+\infty[}$$

2. On écrit $f(x)=x\mathrm{e}^{-x}+\mathrm{e}^{-x}$. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=0$, et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}$$

3. Pour $x\geqslant 0$, on a $x+1\geqslant 1>0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc : $$\boxed{f(x)>0 \text{ sur } [0\,;+\infty[}$$

Partie B : aire du domaine.

4. $F$ est un produit : $$\left\{\begin{array}{l} u(x)=-(x+2) \\[2mm] u'(x)=-1 \end{array}\right. \qquad\qquad \left\{\begin{array}{l} v(x)=\mathrm{e}^{-x} \\[2mm] v'(x)=-\mathrm{e}^{-x} \end{array}\right.$$

5. La fonction $f$ étant positive, l'aire est directement l'intégrale : $$\begin{aligned} \mathcal{A}(\lambda) &= \int_{0}^{\lambda}f(x)\,\mathrm{d}x = \Big[-(x+2)\mathrm{e}^{-x}\Big]_{0}^{\lambda} = -(\lambda+2)\mathrm{e}^{-\lambda}-\big(-2\mathrm{e}^{0}\big) \end{aligned}$$

6. $$\mathcal{A}(1)=2-3\mathrm{e}^{-1}\approx\boxed{0{,}896} \qquad \text{et} \qquad \mathcal{A}(5)=2-7\mathrm{e}^{-5}\approx\boxed{1{,}953}$$

7. Par croissances comparées, $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}=0$ et $\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty}2\mathrm{e}^{-\lambda}=0$, donc : $$\boxed{\lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal{A}(\lambda)=2}$$ Le domaine s'étend indéfiniment vers la droite, mais la courbe s'écrase si vite sur l'axe des abscisses que l'aire ajoutée devient négligeable : $$\boxed{\text{L'aire totale reste finie et ne dépassera jamais } 2 \text{ unités d'aire}}$$

8. La fonction $\mathcal{A}$ est une primitive de $f$ sur $]0\,;+\infty[$, et $f$ y est strictement positive : $\mathcal{A}$ est donc strictement croissante. Elle est de plus continue (car dérivable), avec : $$\mathcal{A}(0)=0 \qquad \text{et} \qquad \lim_{\lambda\to+\infty}\mathcal{A}(\lambda)=2$$ Comme $1$ appartient à $]0\,;2[$, le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à une fonction continue et strictement croissante assure : $$\boxed{\text{L'équation } \mathcal{A}(\lambda)=1 \text{ admet une unique solution } \lambda_{0}}$$ À la calculatrice, $\mathcal{A}(1{,}14)\approx 0{,}9958$ et $\mathcal{A}(1{,}15)\approx 1{,}0026$, d'où : $$\boxed{1{,}14<\lambda_{0}<1{,}15}$$

9. $\lambda_{0}$ est l'abscisse à laquelle le domaine a atteint la moitié de son aire totale : $$\boxed{\text{Sur } [0\,;\lambda_{0}], \text{ on a déjà accumulé la moitié de l'aire totale}}$$ Il est frappant que cette moitié soit atteinte avant $x=1{,}15$, alors que le domaine s'étend jusqu'à l'infini : c'est bien le début de la courbe qui concentre l'essentiel de l'aire.