Exercice 1

Il s'agit à chaque fois de dériver $F$ et de comparer le résultat à $f$.

1. $F(x)=x^{3}-2x+1$ donne $F'(x)=3x^{2}-2=f(x)$ : $$\boxed{F \text{ est bien une primitive de } f \text{ sur } \mathbb{R}}$$

2. $F$ est un produit. On pose :

$$\left\{\begin{array}{l} u(x)=2x-1 \\[2mm] v(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right. \qquad\text{ce qui donne :}\qquad \left\{\begin{array}{l} u'(x)=2 \\[2mm] v'(x)=\mathrm{e}^{x} \end{array}\right.$$ d'où : $$F'(x)=2\mathrm{e}^{x}+(2x-1)\mathrm{e}^{x}=(2+2x-1)\mathrm{e}^{x}=(2x+1)\mathrm{e}^{x}=f(x)$$

3. Là encore un produit, auquel s'ajoute $-x$ :

4. $F$ est de la forme $\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^{2}+1$, donc $F'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ : $$F'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=f(x)$$

$$\boxed{F \text{ est bien une primitive de } f \text{ sur } \mathbb{R}}$$ On notera que $x^{2}+1$ ne s'annule jamais : $F$ est bien dérivable sur $\mathbb{R}$ tout entier.

5. $F$ est de la forme $\ln(u)$ avec $u(x)=x^{2}+3>0$, donc $F'=\dfrac{u'}{u}$ : $$F'(x)=\frac{2x}{x^{2}+3}=f(x) \qquad \boxed{F \text{ est bien une primitive de } f \text{ sur } \mathbb{R}}$$

6. $F$ est de la forme $\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x+1$, donc $F'=-\dfrac{u'}{u^{2}}$ : $$F'(x)=-\frac{1}{(x+1)^{2}}\neq f(x)$$

$$\boxed{\text{C'est l'affirmation fausse : il manque un signe }-}$$ Pour la corriger, deux possibilités : soit $F(x)=-\dfrac{1}{x+1}$ est une primitive de $f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$, soit $F(x)=\dfrac{1}{x+1}$ est une primitive de $f(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$.