ExerciceTerminale, chapitre 6 — Calcul intégral · Exercices de synthèse

Exercice 38 Rectangles, milieux et trapèzes

AlgorithmiqueCalcul

On cherche à approcher $\displaystyle I=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ en partageant $[1\,;2]$ en $n=4$ intervalles de même longueur $h=0{,}25$ . On note $x_{0}=1$ , $x_{1}=1{,}25$ , $x_{2}=1{,}5$ , $x_{3}=1{,}75$ et $x_{4}=2$ .

Quatre méthodes sont envisagées. Sur chaque petit intervalle $[x_{k}\,;x_{k+1}]$ , on remplace le domaine sous la courbe par :

• un rectangle de hauteur $f(x_{k})$ (méthode des rectangles à gauche) ;

• un rectangle de hauteur $f(x_{k+1})$ (méthode des rectangles à droite) ;

• un rectangle de hauteur $f\!\left(\dfrac{x_{k}+x_{k+1}}{2}\right)$ (méthode des milieux) ;

• un trapèze de bases $f(x_{k})$ et $f(x_{k+1})$ (méthode des trapèzes).

1. Faire un schéma illustrant chacune des quatre méthodes sur un seul intervalle.

2. Calculer les approximations $G$ (rectangles à gauche) et $D$ (rectangles à droite) de $I$ . On donnera des valeurs approchées au millième.

3. Calculer l'approximation $M$ par la méthode des milieux. On donnera d'abord les valeurs exactes de $f$ aux quatre milieux.

4. Démontrer que l'approximation $T$ par la méthode des trapèzes vérifie $T=\dfrac{G+D}{2}$ , puis la calculer.

On rappelle que l'aire d'un trapèze de bases $b$ et $B$ et de hauteur $h$ vaut $\dfrac{(b+B)h}{2}$ .

5. Calculer la valeur exacte de $I$ , puis l'erreur commise par chacune des quatre méthodes. Les classer de la moins précise à la plus précise.

6. Les méthodes des milieux et des trapèzes encadrent-elles $I$  ? Expliquer, à l'aide d'un schéma, pourquoi la méthode des milieux est ici bien meilleure que celle des rectangles : quelle compensation se produit sur chaque intervalle ?

7. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous, qui renvoie l'approximation de $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$ obtenue par la méthode des milieux avec $n$ intervalles. Les pointillés sont à remplacer par les expressions manquantes.

def milieux(f, a, b, n):
    h = ...
    S = 0
    for k in range(n):
        m = ...
        S = S + f(m)
    return ...

8. On définit en Python la fonction g par def g(x): return 1/x. Que renvoie l'appel milieux(g, 1, 2, 4) ? Et que renvoie, d'après vous, milieux(g, 1, 2, 1000) ?

Corrigé

1. Sur un intervalle $[x_{k}\,;x_{k+1}]$ , les quatre constructions se comparent ainsi :

On voit déjà que le rectangle de gauche déborde largement, celui de droite manque une bande tout aussi large, alors que le rectangle des milieux et le trapèze épousent la courbe de très près.

2. Les cinq valeurs utiles sont $f(1)=1$ , $f(1{,}25)=0{,}8$ , $f(1{,}5)=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}667$ , $f(1{,}75)=\dfrac{4}{7}\approx 0{,}571$ et $f(2)=0{,}5$ . Chaque rectangle ayant pour largeur $h=0{,}25$ : $G=0{,}25\times\left(1+0{,}8+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\right)\approx\boxed{0{,}760}$

D=0{,}25\times\left(0{,}8+\frac{2}{3}+\frac{4}{7}+0{,}5\right)\approx\boxed{0{,}635}

3. Les quatre milieux sont $\dfrac{9}{8}$ , $\dfrac{11}{8}$ , $\dfrac{13}{8}$ et $\dfrac{15}{8}$ , en lesquels $f$ vaut respectivement $\dfrac{8}{9}$ , $\dfrac{8}{11}$ , $\dfrac{8}{13}$ et $\dfrac{8}{15}$ . $M=0{,}25\times\left(\frac{8}{9}+\frac{8}{11}+\frac{8}{13}+\frac{8}{15}\right) \approx\boxed{0{,}691}$

4. Sur $[x_{k}\,;x_{k+1}]$ , le trapèze a pour bases $f(x_{k})$ et $f(x_{k+1})$ et pour hauteur $h$ : son aire vaut $\dfrac{\big(f(x_{k})+f(x_{k+1})\big)h}{2}$ , c'est-à-dire la moyenne des aires des deux rectangles. En sommant sur les quatre intervalles : $\boxed{T=\frac{G+D}{2}}$

T=\frac{0{,}7595+0{,}6345}{2}\approx\boxed{0{,}697}

5. $\displaystyle I=\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\Big[\ln(x)\Big]_{1}^{2} =\ln(2)\approx 0{,}693147$ . Les erreurs commises sont :

Méthode	gauche	droite	trapèzes	milieux
Valeur	$0{,}759524$	$0{,}634524$	$0{,}697024$	$0{,}691220$
Erreur	$+6{,}6\times 10^{-2}$	$-5{,}9\times 10^{-2}$	$+3{,}9\times 10^{-3}$	$-1{,}9\times 10^{-3}$

\boxed{\text{De la moins précise à la plus précise : gauche, droite, trapèzes, milieux}}

6. Oui : $M\approx 0{,}6912<\ln(2)<0{,}6970\approx T$ , donc $\boxed{M\leqslant I\leqslant T}$ . La fonction inverse étant convexe sur $[1\,;2]$ , sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes — d'où $T$ trop grand — et au-dessus de chacune de ses tangentes — d'où $M$ trop petit.

Sur la figure de la question 1, le rectangle des milieux a la même aire que le trapèze construit sur la tangente au point milieu : la portion de courbe qui dépasse à gauche compense presque exactement celle qui manque à droite. $\boxed{\text{La méthode des milieux bénéficie d'une compensation, pas celle des rectangles}}$ C'est ce qui explique le facteur $30$ entre les deux erreurs, pour le même nombre de calculs.

def milieux(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    S = 0
    for k in range(n):
        m = a + (k + 0.5) * h
        S = S + f(m)
    return h * S

8. L'appel milieux(g, 1, 2, 4) reprend exactement le calcul de la question 3 : $\boxed{\texttt{milieux(g, 1, 2, 4)} \approx 0{,}691\,220}$ Avec $n=1\,000$ , le découpage est $250$ fois plus fin : $\boxed{\texttt{milieux(g, 1, 2, 1000)} \approx 0{,}693\,147\,1}$ soit $\ln(2)$ à $3\times 10^{-8}$ près.

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Dans l'édifice

Propriétés de l'intégrale de Riemann Convergence des sommes de Riemann Fonctions intégrables au sens de Riemann

Thèmes

intégrale, aire, encadrement, méthode des rectangles, Python

Notions

intégrable au sens de Riemann, fonction en escalier, somme de Riemann