Exercice 39 La méthode de Monte-Carlo

1. Soit $M(x\,;y)$ un point de la courbe, avec $x\in[0\,;1]$. Alors $y=\sqrt{1-x^{2}}$, donc $y\geqslant 0$ et, en élevant au carré : $$y^{2}=1-x^{2} \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad x^{2}+y^{2}=1$$

$$\boxed{\text{La courbe est le quart de cercle de centre } O \text{ et de rayon } 1 \text{ situé dans le premier quadrant}}$$ Le domaine $\mathcal{D}$ situé sous cette courbe est donc un quart de disque de rayon $1$, dont l'aire vaut le quart de $\pi\times 1^{2}$ : $$\boxed{\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785}$$

Le domaine sous la courbe est bien le quart du disque de rayon $1$ : c'est ce que montre le cercle complet tracé en pointillés. Son aire, $\dfrac{\pi}{4}$, s'obtient donc sans aucune primitive — et c'est heureux, car aucune primitive de $x\mapsto\sqrt{1-x^{2}}$ ne figure au tableau du cours.

2. (a) Le carré a pour aire $1\times 1=1$, donc : $$\boxed{p=\frac{\text{aire de } \mathcal{D}}{\text{aire du carré}} =\frac{\pi/4}{1}=\frac{\pi}{4}\approx 0{,}785}$$

(b) Comme $x\in[0\,;1]$ et $y\geqslant 0$, le point $P$ appartient à $\mathcal{D}$ si et seulement s'il est sous la courbe, c'est-à-dire $y\leqslant\sqrt{1-x^{2}}$. Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré sans changer le sens : $$y\leqslant\sqrt{1-x^{2}} \iff y^{2}\leqslant 1-x^{2} \iff \boxed{x^{2}+y^{2}\leqslant 1}$$ C'est la traduction du fait que $P$ est à une distance de $O$ inférieure à $1$.

3. La proportion $\dfrac{c}{N}$ de points tombés dans $\mathcal{D}$ est la fréquence de l'événement « le point est dans $\mathcal{D}$ ». Lorsque $N$ est grand, cette fréquence se rapproche de la probabilité $\dfrac{\pi}{4}$ : $$\frac{c}{N}\approx\frac{\pi}{4} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\pi\approx\frac{4c}{N}}$$

4. $$\boxed{N=1\,000 \;:\; \pi\approx\frac{4\times 782}{1\,000}=3{,}128} \qquad \text{et} \qquad \boxed{N=10\,000 \;:\; \pi\approx\frac{4\times 7\,864}{10\,000}=3{,}1456}$$ La première estimation donne une décimale exacte, la seconde deux. Rappelons que $\pi\approx 3{,}14159$.

5.

from random import random

def approx_pi(N):
    c = 0
    for i in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if x**2 + y**2 <= 1 :
            c = c + 1
    return 4 * c / N

6. C'est parfaitement normal, et ce n'est pas une erreur de programmation : $$\boxed{\text{la fonction repose sur des tirages aléatoires, donc son résultat varie}}$$ Deux exécutions ne tirent pas les mêmes points et ne comptent donc pas le même nombre $c$. C'est la nature même de la méthode : elle ne fournit pas une valeur, mais une estimation.

7. Le rectangle $[a\,;b]\times[0\,;M]$ a pour aire $(b-a)M$, et le domaine sous la courbe de $g$ y est entièrement contenu puisque $0\leqslant g\leqslant M$. La probabilité qu'un point tiré au hasard tombe sous la courbe vaut donc : $$p=\frac{\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x}{(b-a)M}$$ En remplaçant $p$ par la fréquence observée $\dfrac{c}{N}$ : $$\boxed{\int_{a}^{b}g(x)\,\mathrm{d}x\approx(b-a)\,M\,\frac{c}{N}}$$

8. Non, la méthode est très peu précise. Pour gagner une décimale il faut multiplier $N$ par $100$, donc effectuer cent fois plus de tirages.

La comparaison est sans appel : avec $1\,000$ points, Monte-Carlo donne une ou deux décimales de $\pi$, alors que la méthode des milieux de l'exercice 38 en donnait sept avec $1\,000$ évaluations seulement. $$\boxed{\text{Pour une intégrale en dimension } 1, \text{ Monte-Carlo n'est pas compétitive}}$$ Son intérêt est ailleurs : en dimension élevée, découper l'espace en petits pavés devient impraticable, alors que tirer des points au hasard reste tout aussi simple.