ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Notion d'équation différentielle

Exercice 1

Calcul

Dans chaque cas, vérifier que la fonction $f$ proposée est solution de l'équation différentielle donnée. On calculera $f'(x)$ d'une part, et le second membre d'autre part, avant de les comparer.

1. $f(x)=3\mathrm{e}^{4x}$ et $y'=4y$

2. $f(x)=-2\mathrm{e}^{-x}$ et $y'=-y$

3. $f(x)=\mathrm{e}^{3x}+1$ et $y'=3y-3$

4. $f(x)=4\mathrm{e}^{-2x}+5$ et $y'=-2y+10$

5. $f(x)=x\mathrm{e}^{2x}$ et $y'=2y+\mathrm{e}^{2x}$

Corrigé

La méthode est toujours la même : on calcule $f'(x)$ , on calcule le second membre en remplaçant $y$ par $f(x)$ , et l'on compare.

1. $f(x)=3\mathrm{e}^{4x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : $f'(x)=3\times 4\mathrm{e}^{4x}=12\mathrm{e}^{4x} \qquad ; \qquad 4f(x)=4\times 3\mathrm{e}^{4x}=12\mathrm{e}^{4x}$ Les deux expressions coïncident pour tout réel $x$ : $\boxed{f \text{ est solution de } y'=4y}$

2. $f'(x)=-2\times(-1)\mathrm{e}^{-x}=2\mathrm{e}^{-x} \qquad ; \qquad -f(x)=2\mathrm{e}^{-x}$

\boxed{f \text{ est solution de } y'=-y}

3. $f'(x)=3\mathrm{e}^{3x} \qquad ; \qquad 3f(x)-3=3\left(\mathrm{e}^{3x}+1\right)-3=3\mathrm{e}^{3x}+3-3 =3\mathrm{e}^{3x}$

\boxed{f \text{ est solution de } y'=3y-3}

4. $f'(x)=4\times(-2)\mathrm{e}^{-2x}=-8\mathrm{e}^{-2x}$

-2f(x)+10=-2\left(4\mathrm{e}^{-2x}+5\right)+10=-8\mathrm{e}^{-2x}-10+10=-8\mathrm{e}^{-2x}

\boxed{f \text{ est solution de } y'=-2y+10}

5. On dérive le produit : $f'(x)=1\times\mathrm{e}^{2x}+x\times 2\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{2x}+2x\mathrm{e}^{2x}$

2f(x)+\mathrm{e}^{2x}=2x\mathrm{e}^{2x}+\mathrm{e}^{2x}

\boxed{f \text{ est solution de } y'=2y+\mathrm{e}^{2x}}

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Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local L'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay, équation y' = ay + b, vérifier une solution, solution particulière

Notions

équation différentielle, exponentielle