Feuille d'exercicesTerminale, chapitre 8

Équations différentielles

36 exercices corrigés · 7 21 7 1

Notion d'équation différentielle

Exercice 1 Dans chaque cas, vérifier que la fonction f proposée est solution de l'équation différentielle donnée. On calculera f'(x) d'une part, et le second…
Exercice 2 Parmi les six fonctions suivantes, déterminer lesquelles sont solutions sur ℝ de l'équation différentielle y'=-3y. Justifier chaque réponse. a)…
Exercice 3 1. Déterminer le réel k pour que la fonction f:x↦ e^kx soit solution de y'=5y. 2. Déterminer les réels a et b pour que la fonction f:x↦ a e^2x+b…
Exercice 4 Vérifier que chacune des fonctions suivantes est solution de l'équation différentielle indiquée. 1. f(x)=x^2 e^(-x) et y'=-y+2x e^(-x) 2.…

Exercice 5 Résoudre sur ℝ les équations différentielles suivantes. On identifiera à chaque fois la valeur de a. a) y'=3y b) y'=-2y c) y'=0,5 y d) y'+4y=0 e)…
Exercice 6 Déterminer dans chaque cas l'unique solution vérifiant la condition initiale donnée. a) y'=2y et y(0)=5 b) y'=-y et y(0)=-3 c) y'=3y et y(1)= e^3 d)…
Exercice 7 Chacune des équations suivantes doit d'abord être ramenée à la forme y'=ay. La résoudre ensuite. a) 4y'-8y=0 b) 5y'+2y=0 c) y'/2 =-3y d) 2y'-y=0…
Exercice 8 1. Une fonction f est solution de y'=ay et vérifie f(0)=2 et f(1)=2 e^3. Déterminer a, puis l'expression de f. 2. Une fonction g est solution de…
Exercice 9 Le graphique ci-dessous représente quatre courbes intégrales de l'équation différentielle y'=0,5 y. 1. Donner la forme générale des solutions de…
Exercice 10 Soit f la solution de l'équation y'=-4y vérifiant f(0)=5. 1. Déterminer l'expression de f(x). 2. Calculer f'(x) et en déduire le sens de variation…

Exercice 11 Résoudre sur ℝ les équations différentielles suivantes. On identifiera a et b, puis on calculera la valeur d'équilibre - b/a. a) y'=2y+6 b) y'=-y+4…
Exercice 12 Déterminer dans chaque cas l'unique solution vérifiant la condition initiale donnée. a) y'=3y-6 et y(0)=4 b) y'=-y+2 et y(0)=5 c) y'=-0,2 y+1 et…
Exercice 13 Ramener chacune des équations suivantes à la forme y'=ay+b, puis la résoudre. a) 3y'=6y+9 b) y'+2y-8=0 c) 5y'-y=10 d) 2y'=3-y e) y'=4(y-2) f)…
Exercice 14 Soit f la solution de l'équation différentielle y'=-0,4 y+6 vérifiant f(0)=2. 1. Déterminer la valeur d'équilibre de cette équation. 2. Donner la…
Exercice 15 Le graphique ci-dessous représente trois courbes intégrales d'une équation différentielle de la forme y'=ay+b, ainsi que la droite d'équation y=4…
Exercice 16 Une fonction f est solution d'une équation différentielle de la forme y'=ay+b. On sait que f(0)=1, que la valeur d'équilibre vaut 5, et que f'(0)=4.…

Exercice 17 Un échantillon radioactif contient initialement N_0=10^12 atomes. Sa constante radioactive vaut λ=0,02 an ^(-1). On note N(t) le nombre d'atomes…
Exercice 18 La datation au carbone 14 repose sur la désintégration de cet isotope, dont la demi-vie vaut T=5730 ans. On note N(t)=N_0 e^(-λ t) le nombre…
Exercice 19 Un objet métallique porté à 100 °C est placé dans une pièce maintenue à 22 °C. On note θ(t) sa température, en degrés Celsius, au bout de t minutes.…
Exercice 20 Une culture de bactéries compte initialement 500 individus. Tant que les ressources sont abondantes, le nombre N(t) de bactéries au bout de t heures…
Exercice 21 Un parachutiste saute d'un avion sans vitesse initiale. Sa vitesse v(t), en m · s ^(-1) au bout de t secondes, vérifie l'équation différentielle:…

Exercice 22 · QCM Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.
Exercice 23 · Vrai ou faux Chacune des affirmations suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse: par une démonstration si l'affirmation est vraie, par un…
Exercice 24 · Type Bac On considère l'équation différentielle (E): y'=-2y+6, et l'on note f sa solution vérifiant f(0)=1. 1. Déterminer la valeur d'équilibre de (E), puis…
Exercice 25 · Type Bac Un plat sorti du four à 180 °C est posé dans une cuisine dont la température est de 20 °C. On note θ(t) sa température au bout de t minutes. On…
Exercice 26 · Type Bac Un patient reçoit un médicament par perfusion à débit constant. On note c(t) la concentration du médicament dans le sang, en mg · L ^(-1), au bout…
Exercice 27 On compare deux isotopes radioactifs: l'iode 131, de demi-vie 8 jours, et le césium 137, de demi-vie 30 ans. 1. Déterminer la constante radioactive…
Exercice 28 · Type Bac On considère l'équation différentielle: (E): y'=-2y+4x Le second membre n'étant plus constant, le théorème 3 ne s'applique pas directement. On va…
Exercice 29 Dans tout l'exercice, a et b désignent deux réels avec a≠ 0. Partie A: structure des solutions. 1. Soient f et g deux solutions de y'=ay. Démontrer…
Exercice 30 Pour tout réel C, on note f_C la fonction définie sur ℝ par: f_C(x)=C e^(-x)+2 1. Vérifier que f_C est solution de l'équation différentielle…

Exercice 31 Soit λ∈ℝ. On cherche les fonctions f dérivables sur ℝ telles que: pour tout réel x, f'(x)-λ f(x)= e^x 1. Traiter le cas λ≠ 1. On cherchera une…
Exercice 32 L'analogue discret de l'équation y'=ay+b. Partie A: suites arithmético-géométriques. Soient a et b deux réels, et (u_n) une suite telle que, pour…
Exercice 33 On se propose de déterminer les fonctions f deux fois dérivables sur ℝ et telles que: pour tous réels x et y, f(x+y)+f(x-y)=2 (f(x)+f(y)) Dans les…
Exercice 34 Courbes de sous-tangente constante. Déterminer les fonctions f dérivables sur ℝ vérifiant la condition suivante: pour tout réel x, la tangente à la…
Exercice 35 La méthode d'Euler. On considère l'équation y'=y avec la condition y(0)=1, dont la solution est la fonction exponentielle. On cherche à en calculer…
Exercice 36 Équation différentielle des fonctions puissances. Soient α un réel strictement positif et f une fonction définie sur ]0;+∞[. En imitant la…