Exercice 31

L'équation s'écrit $y'=\lambda y+\mathrm{e}^{x}$. Comme à l'exercice 28, dès que l'on connaît une solution particulière $\varphi$, une fonction $f$ est solution si et seulement si $f-\varphi$ est solution de $y'=\lambda y$, c'est-à-dire si et seulement si $f=\varphi+K\mathrm{e}^{\lambda x}$ avec $K\in\mathbb{R}$.

1. Cherchons $\varphi(x)=C\mathrm{e}^{x}$. Alors $\varphi'(x)-\lambda\varphi(x)=(1-\lambda)C\mathrm{e}^{x}$, et cette quantité vaut $\mathrm{e}^{x}$ pour tout $x$ si et seulement si $(1-\lambda)C=1$, soit $C=\frac{1}{1-\lambda}$, ce qui est possible car $\lambda\neq 1$. $$\boxed{\text{Si } \lambda\neq 1, \text{ les solutions sont les fonctions } x\mapsto\frac{\mathrm{e}^{x}}{1-\lambda}+K\mathrm{e}^{\lambda x},\ K\in\mathbb{R}.}$$

2. Pour $\lambda=1$, la fonction $x\mapsto C\mathrm{e}^{x}$ ne convient plus, puisque $(1-\lambda)C=0\neq 1$ : c'est une solution de l'équation sans second membre. Cherchons $\varphi(x)=Cx\mathrm{e}^{x}$. Alors $\varphi'(x)=C(x+1)\mathrm{e}^{x}$ et $\varphi'(x)-\varphi(x)=C\mathrm{e}^{x}$, qui vaut $\mathrm{e}^{x}$ pour $C=1$. $$\boxed{\text{Si } \lambda=1, \text{ les solutions sont les fonctions } x\mapsto(x+K)\mathrm{e}^{x},\ K\in\mathbb{R}.}$$

Remarque. On retrouve le résultat de la question 4 de l'exercice 3 : toutes les fonctions $x\mapsto(x+m)\mathrm{e}^{x}$ sont solutions de $y'=y+\mathrm{e}^{x}$. Lorsque le second membre est lui-même solution de l'équation sans second membre, il faut multiplier la forme cherchée par $x$. Ce phénomène, appelé résonance, se retrouve en physique : une excitation à la fréquence propre d'un système produit une réponse qui croît plus vite que l'excitation.