Exercice 32

Partie A

1. Si $a=1$, la relation s'écrit $u_{n+1}=u_{n}+b$ : la suite est arithmétique de raison $b$, et $\boxed{u_{n}=u_{0}+nb}$.

2. Comme $a\neq 1$, $x=ax+b\iff(1-a)x=b\iff x=\dfrac{b}{1-a}$. $$\boxed{\ell=\frac{b}{1-a}}$$

3. Pour tout $n$, en soustrayant membre à membre $u_{n+1}=au_{n}+b$ et $\ell=a\ell+b$ : $$v_{n+1}=u_{n+1}-\ell=a(u_{n}-\ell)=a\,v_{n}$$ La suite $(v_{n})$ est géométrique de raison $a$, donc $v_{n}=a^{n}v_{0}$ et $$\boxed{u_{n}=\ell+a^{n}\left(u_{0}-\ell\right)}$$ Vérification : avec $u_{n+1}=0{,}8\,u_{n}+60$ et $u_{0}=100$ (exercice 29 du chapitre 5), on trouve $\ell=\frac{60}{0{,}2}=300$ et $u_{n}=300-200\times 0{,}8^{\,n}$, la formule déjà obtenue.

4. Si $u_{0}=\ell$, la suite est constante, égale à $\ell$, donc convergente. Sinon, $u_{n}-\ell=a^{n}(u_{0}-\ell)$ avec $u_{0}-\ell\neq 0$, et $(u_{n})$ converge si et seulement si $(a^{n})$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $-1<a\leqslant 1$ ; le cas $a=1$ étant exclu ici, il reste $-1<a<1$, et la limite est alors $\ell$. $$\boxed{(u_{n}) \text{ converge si et seulement si } u_{0}=\ell \text{ ou } |a|<1.}$$

Remarque. Le parallèle avec le cours est complet. Le point fixe $\ell$ joue le rôle de la valeur d'équilibre $-\frac{b}{a}$, la soustraction de $\ell$ celle de la solution constante, et la suite géométrique $(a^{n})$ celle de $x\mapsto\mathrm{e}^{ax}$. La condition $|a|<1$ remplace la condition $a<0$ qui assurait, pour $y'=ay+b$, la convergence vers l'équilibre.

Partie B

5. Pour tout $n$, comme $a^{n+1}\neq 0$ : $$z_{n+1}-z_{n}=\frac{u_{n+1}}{a^{n+1}}-\frac{u_{n}}{a^{n}}=\frac{u_{n+1}-au_{n}}{a^{n+1}} =\boxed{\frac{w_{n}}{a^{n+1}}}$$

6. En sommant ces égalités pour $k$ allant de $0$ à $n-1$, la somme de gauche se télescope : $$z_{n}=z_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{w_{k}}{a^{k+1}} \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{u_{n}=a^{n}u_{0}+\sum_{k=0}^{n-1}a^{\,n-1-k}\,w_{k}}$$ Vérification : pour $n=2$, $u_{2}=a(au_{0}+w_{0})+w_{1}=a^{2}u_{0}+aw_{0}+w_{1}$, ce que donne bien la formule.

Remarque. Diviser par $a^{n}$, c'est exactement ce que fait la partie B de l'exercice 29, où l'on multiplie $f(x)$ par $\mathrm{e}^{-ax}$ : dans les deux cas, on neutralise la partie « géométrique » de l'évolution pour ne garder que l'effet du second membre. Pour les équations différentielles, cette technique s'appelle la variation de la constante ; elle est étudiée après le baccalauréat.