Exercice 33

1. Avec $x=y=0$, on obtient $2f(0)=4f(0)$, donc $\boxed{f(0)=0}$. Avec $x=0$ et $y$ quelconque, on obtient $f(y)+f(-y)=2f(0)+2f(y)=2f(y)$, donc $f(-y)=f(y)$ : $$\boxed{f \text{ est paire.}}$$

2. Fixons $y$ et dérivons deux fois par rapport à $x$ les deux membres de l'égalité ; la dérivée seconde de $x\mapsto f(x+y)$ est $x\mapsto f''(x+y)$, celle de $x\mapsto f(x-y)$ est $x\mapsto f''(x-y)$, et $2f(y)$ ne dépend pas de $x$ : $$f''(x+y)+f''(x-y)=2f''(x)$$ Fixons maintenant $x$ et dérivons deux fois par rapport à $y$ ; la dérivée de $y\mapsto x-y$ vaut $-1$, et deux dérivations font apparaître $(-1)^{2}=1$ : $$f''(x+y)+f''(x-y)=2f''(y)$$ En comparant, $f''(x)=f''(y)$ pour tous réels $x$ et $y$ : $$\boxed{f'' \text{ est constante.}}$$

3. Notons $2a$ cette constante. La fonction $x\mapsto f'(x)-2ax$ a une dérivée nulle sur $\mathbb{R}$, donc est constante : $f'(x)=2ax+b$. De même, $f(x)=ax^{2}+bx+c$. Comme $f(0)=0$, $c=0$, et comme $f$ est paire, $f(-x)-f(x)=-2bx=0$ pour tout $x$, donc $b=0$. Réciproquement, si $f(x)=ax^{2}$ : $$a(x+y)^{2}+a(x-y)^{2}=2ax^{2}+2ay^{2}=2\left(f(x)+f(y)\right)$$

Remarque. L'équation fonctionnelle a été transformée en l'équation différentielle la plus simple qui soit, $y''=\text{constante}$. C'est une méthode générale : dériver une équation fonctionnelle fait apparaître une équation différentielle, que l'on sait résoudre. Avec $f(x)=x^{2}$, l'équation s'écrit $(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2x^{2}+2y^{2}$ : c'est l'identité du parallélogramme du chapitre 4, écrite pour des nombres au lieu de vecteurs.