Exercice 34

Mise en équation. Soit $f$ une solution et $x$ un réel. La tangente au point $M\left(x\,;f(x)\right)$ a pour équation $Y=f(x)+f'(x)(X-x)$, avec $f'(x)\neq 0$ puisqu'elle n'est pas parallèle à l'axe des abscisses. Elle coupe cet axe lorsque $Y=0$, c'est-à-dire au point $N(x)$ d'abscisse $x-\frac{f(x)}{f'(x)}$. Le projeté de $M$ sur l'axe est $P(x\,;0)$, et la condition s'écrit : $$PN=\left|\frac{f(x)}{f'(x)}\right|=c\qquad\text{pour tout réel } x$$ où $c\geqslant 0$ est une constante, appelée sous-tangente.

Analyse. Si $c=0$, alors $f$ est la fonction nulle, et $f'=0$, ce qui est exclu. Donc $c>0$, et $f$ ne s'annule jamais ; étant continue, elle garde un signe constant d'après le théorème des valeurs intermédiaires. La dérivée $f'$ ne s'annule pas non plus, et l'on admet qu'elle garde, elle aussi, un signe constant. (Admis : c'est vrai pour toute fonction dérivée qui ne s'annule pas sur un intervalle, d'après un théorème de Darboux démontré après le baccalauréat ; la difficulté est que $f'$ n'est pas supposée continue.) Le quotient $\frac{f'}{f}$ a donc un signe constant, et sa valeur absolue vaut $\frac{1}{c}$ : il existe $\lambda\in\left\{\frac{1}{c}\,;-\frac{1}{c}\right\}$ tel que $f'=\lambda f$. D'après le théorème 1, $f(x)=C\mathrm{e}^{\lambda x}$, avec $C\neq 0$ puisque $f$ ne s'annule pas.

Synthèse. Réciproquement, si $f(x)=C\mathrm{e}^{\lambda x}$ avec $C\neq 0$ et $\lambda\neq 0$, alors $f'(x)=\lambda f(x)\neq 0$ et $\left|\frac{f(x)}{f'(x)}\right|=\frac{1}{|\lambda|}$ est constant. $$\boxed{\text{Les solutions sont les fonctions } x\mapsto C\mathrm{e}^{\lambda x},\ C\neq 0,\ \lambda\neq 0 \text{ ; la sous-tangente vaut } \frac{1}{|\lambda|}.}$$

Sur cette figure, tracée pour $\lambda=\frac{1}{2}$, on lit qu'en deux points différents de la courbe, la tangente (en ocre) coupe l'axe des abscisses à la même distance $2=\frac{1}{\lambda}$ du pied de la verticale (segments violets).

Remarque. Ce problème, posé par Florimond de Beaune à Descartes au XVIIᵉ siècle, est l'un des premiers « problèmes inverses des tangentes », où l'on cherche une courbe connaissant une propriété de ses tangentes. C'est l'une des origines historiques de l'exponentielle, avant même que celle-ci ait reçu son nom.