Exercice 35

1. Pour $h$ petit, la courbe d'une fonction dérivable est proche de sa tangente : $f(t+h)\approx f(t)+h\,f'(t)$. Si $f$ est solution de $y'=y$, cela devient $f(t+h)\approx f(t)+h\,f(t)$. Partant de $f(0)=1=y_{0}$, la relation $y_{k+1}=y_{k}+hy_{k}$ reproduit cette approximation de proche en proche : $y_{1}\approx f(h)$, $y_{2}\approx f(2h)$, et ainsi de suite, $y_{k}$ étant une valeur approchée de $f(kh)=\mathrm{e}^{kh}$.

2. La relation s'écrit $y_{k+1}=(1+h)\,y_{k}$ : la suite $(y_{k})$ est géométrique de raison $1+h$ et de premier terme $1$. Donc $y_{n}=(1+h)^{n}$, et comme $h=\frac{x}{n}$ : $$\boxed{y_{n}=\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}}$$

3. D'après l'exercice 32 du chapitre 5, $\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$ tend vers $\mathrm{e}^{x}$. $$\boxed{\lim_{n\to+\infty}y_{n}=\mathrm{e}^{x}}$$ La méthode d'Euler converge donc vers la vraie solution lorsque le pas $h$ tend vers $0$.

4. Pour $x=1$ :

L'approximation est toujours inférieure à $\mathrm{e}$ : la courbe de l'exponentielle, convexe, est au-dessus de ses tangentes (chapitre 3), si bien que chaque pas sous-estime la croissance. Quand $n$ est multiplié par $100$, l'erreur est divisée par environ $100$ : elle est à peu près proportionnelle au pas $h=\frac{1}{n}$, et vaut environ $\frac{\mathrm{e}}{2n}$. Pour gagner une décimale, il faut donc dix fois plus de calculs, ce qui rappelle la lenteur observée à l'exercice 32 du chapitre 5.

5. Pour $y'=ay$, la relation devient $y_{k+1}=y_{k}+h\,a\,y_{k}=(1+ah)\,y_{k}$, d'où $$\boxed{y_{n}=\left(1+\frac{ax}{n}\right)^{n}}$$ qui tend vers $\mathrm{e}^{ax}$, toujours d'après l'exercice 32 du chapitre 5.

Remarque. La méthode d'Euler s'applique à des équations que l'on ne sait pas résoudre explicitement, comme l'équation logistique de l'exercice 4 : c'est ainsi que travaillent les logiciels de simulation, avec des variantes plus précises.