Exercice 30

1. $$f_{C}'(x)=C\times(-1)\mathrm{e}^{-x}=-C\mathrm{e}^{-x}$$

$$-f_{C}(x)+2=-\left(C\mathrm{e}^{-x}+2\right)+2=-C\mathrm{e}^{-x}$$ Les deux expressions coïncident : $\boxed{f_{C} \text{ est solution de } y'=-y+2}$

2. $$f_{C}(0)=C+2=5 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{C=3}$$

3. $$f_{C}(1)=C\mathrm{e}^{-1}+2=0 \iff C\mathrm{e}^{-1}=-2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{C=-2\mathrm{e}}$$

4. Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, le signe de $f_{C}'(x)=-C\mathrm{e}^{-x}$ est l'opposé de celui de $C$ : $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } C>0 & : \; f_{C} \text{ est strictement décroissante} \\[1mm] \text{si } C<0 & : \; f_{C} \text{ est strictement croissante} \\[1mm] \text{si } C=0 & : \; f_{C} \text{ est constante} \end{array}}$$

5. Oui : pour $C=0$, la fonction $f_{0}$ est constante égale à $2$. $$\boxed{C=0 \text{ donne la solution constante } x\mapsto 2}$$ Cette valeur $2$ est exactement la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{2}{-1}=2$ : partir de l'équilibre, c'est y rester.

6. Comme $-1<0$, le terme $C\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$ en $+\infty$ : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f_{C}(x)=2}$$

$$\boxed{\text{Ce résultat ne dépend pas de } C}$$ Toutes les courbes intégrales admettent donc la même asymptote horizontale $y=2$.

7. Supposons que les deux courbes aient un point commun d'abscisse $x_{0}$. Alors : $$C\mathrm{e}^{-x_{0}}+2=C'\mathrm{e}^{-x_{0}}+2 \iff (C-C')\,\mathrm{e}^{-x_{0}}=0$$ L'exponentielle ne s'annulant jamais, il vient $C-C'=0$, c'est-à-dire $C=C'$, ce qui contredit l'hypothèse. $$\boxed{\text{Deux courbes distinctes de cette famille n'ont aucun point commun}}$$