Exercice 29

Partie A : structure des solutions.

1. Par hypothèse $f'=af$ et $g'=ag$. La somme et la différence sont dérivables, et : $$(f+g)'=f'+g'=af+ag=a(f+g)$$

2. $$(kf)'=k\,f'=k\,(af)=a\,(kf)$$

3. Par hypothèse $f_{1}'=af_{1}+b$ et $f_{2}'=af_{2}+b$. En soustrayant : $$(f_{1}-f_{2})'=f_{1}'-f_{2}'=\big(af_{1}+b\big)-\big(af_{2}+b\big) =a\big(f_{1}-f_{2}\big)$$ Les deux termes constants $b$ se sont éliminés : $$\boxed{f_{1}-f_{2} \text{ est solution de } y'=ay}$$

4. Soit $\varphi$ une solution particulière connue de $y'=ay+b$, et $f$ une solution quelconque. D'après la question 3, $f-\varphi$ est solution de $y'=ay$, donc il existe un réel $C$ tel que $f(x)-\varphi(x)=C\mathrm{e}^{ax}$, c'est-à-dire : $$f(x)=\varphi(x)+C\mathrm{e}^{ax}$$

$$\boxed{\text{Connaître une seule solution particulière suffit à les connaître toutes}}$$ C'est exactement la méthode employée dans la démonstration du théorème 3, et reprise à l'exercice 28.

Partie B : redémonstration du théorème 1.

5. La fonction $g$ est le produit de $f$, dérivable par hypothèse, et de $x\mapsto\mathrm{e}^{-ax}$, dérivable sur $\mathbb{R}$. Elle est donc dérivable, et : $$g'(x)=f'(x)\,\mathrm{e}^{-ax}+f(x)\times(-a)\mathrm{e}^{-ax}=\big(f'(x)-a\,f(x)\big)\mathrm{e}^{-ax}$$

6. Comme $f$ est solution de $y'=ay$, on a $f'(x)=a\,f(x)$, donc $f'(x)-a\,f(x)=0$ : $$\boxed{g'(x)=0\times\mathrm{e}^{-ax}=0 \text{ pour tout réel } x}$$

7. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante. Comme $\mathbb{R}$ est un intervalle, il existe un réel $C$ tel que $g(x)=C$ pour tout $x$, c'est-à-dire $f(x)\mathrm{e}^{-ax}=C$. En multipliant les deux membres par $\mathrm{e}^{ax}$, qui n'est jamais nul : $$\boxed{f(x)=C\mathrm{e}^{ax}}$$ On a bien démontré qu'il n'existe pas d'autres solutions que celles annoncées par le théorème 1.