Exercice 28 Type Bac

Partie A : recherche d'une solution particulière.

1. Si $\varphi(x)=ax+b$, alors $\varphi'(x)=a$. L'équation $(E)$ s'écrit : $$a=-2(ax+b)+4x=(-2a+4)x-2b$$ Cette égalité doit être vraie pour tout réel $x$. En identifiant les coefficients : $$\left\{\begin{array}{l} -2a+4=0 \\ a=-2b \end{array}\right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left\{\begin{array}{l} a=2 \\ b=-1 \end{array}\right.$$

$$\boxed{\varphi(x)=2x-1}$$ Vérification : $\varphi'(x)=2$ et $-2(2x-1)+4x=-4x+2+4x=2$.

Partie B : résolution complète.

2. Posons $g=f-\varphi$, fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Alors : En dérivant, $g'(x)=f'(x)-\varphi'(x)=f'(x)-2$.

Sens direct. Si $f$ est solution de $(E)$, alors $f'(x)=-2f(x)+4x$, donc : $$g'(x)=-2f(x)+4x-2=-2\big(g(x)+\varphi(x)\big)+4x-2$$

$$=-2g(x)-2(2x-1)+4x-2=-2g(x)-4x+2+4x-2=-2g(x)$$ La fonction $g$ est donc solution de $y'=-2y$.

Réciproque. Si $g'=-2g$, alors $f=g+\varphi$ vérifie : $$f'(x)=g'(x)+2=-2g(x)+2=-2\big(f(x)-\varphi(x)\big)+2$$

$$=-2f(x)+2(2x-1)+2=-2f(x)+4x-2+2=-2f(x)+4x$$ donc $f$ est solution de $(E)$. $$\boxed{f \text{ est solution de } (E) \iff f-\varphi \text{ est solution de } y'=-2y}$$

3. Les solutions de $y'=-2y$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}$. Comme $f=g+\varphi$ : $$\boxed{\text{Les solutions de } (E) \text{ sont les fonctions } x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}+2x-1, \text{ avec } C\in\mathbb{R}}$$

4. La condition $g(0)=3$ donne $C-1=3$, soit $C=4$ : $$\boxed{g(x)=4\mathrm{e}^{-2x}+2x-1}$$

Partie C : étude de la solution obtenue.

5. $$g'(x)=4\times(-2)\mathrm{e}^{-2x}+2=-8\mathrm{e}^{-2x}+2$$

6. La fonction $x\mapsto -8\mathrm{e}^{-2x}$ est croissante, donc $g'$ l'est aussi : $g'$ est négative avant $\ln 2$ et positive après.

En effet : $$g(\ln 2)=4\mathrm{e}^{-2\ln 2}+2\ln 2-1=4\times\frac{1}{4}+2\ln 2-1=\boxed{2\ln 2\approx 1{,}386}$$

7. $$g(x)-(2x-1)=4\mathrm{e}^{-2x}$$ Comme $-2<0$, ce terme tend vers $0$ en $+\infty$ : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}\left[g(x)-(2x-1)\right]=0}$$

$$\boxed{\text{La droite d'équation } y=2x-1 \text{ est asymptote oblique à la courbe de } g \text{ en } +\infty}$$ De plus $4\mathrm{e}^{-2x}>0$ : la courbe reste toujours au-dessus de cette asymptote.