Exercice 27

1. La proposition 1 donne $\lambda=\dfrac{\ln 2}{T}$ : $$\boxed{\lambda_{\text{I}}=\frac{\ln 2}{8}\approx 0{,}0866 \text{ jour}^{-1}} \qquad ; \qquad \boxed{\lambda_{\text{Cs}}=\frac{\ln 2}{30}\approx 0{,}0231 \text{ an}^{-1}}$$

2. La durée $24$ jours vaut exactement trois demi-vies, puisque $24=3\times 8$. À chaque demi-vie, la quantité est divisée par $2$ : $$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$$

3. De même, $60=2\times 30$ correspond à deux demi-vies : $$\boxed{\text{Il reste } \frac{1}{4}, \text{ soit } 25\ \% \text{ du césium initial}}$$

4. $$\mathrm{e}^{-\lambda_{\text{I}}\,t}=0{,}01 \iff t=\frac{\ln 100}{\lambda_{\text{I}}} =\frac{8\ln 100}{\ln 2}\approx\boxed{53 \text{ jours}}$$

5. L'iode $131$ disparaît presque entièrement en moins de deux mois : il est très actif immédiatement après l'accident, mais son effet s'éteint vite. $$\boxed{\text{L'iode } 131 \text{ pose un problème sanitaire à court terme}}$$ Le césium $137$, avec une demi-vie de $30$ ans, contamine durablement les sols : après $60$ ans il en reste encore un quart. $$\boxed{\text{Le césium } 137 \text{ pose un problème à long terme}}$$ C'est ce que l'on observe autour des sites d'accidents nucléaires : l'évacuation d'urgence vise l'iode, tandis que l'interdiction durable des terrains vise le césium.