Exercice 26 Type Bac

1. Ici $a=-0{,}25$ et $b=2$ : $$-\frac{b}{a}=-\frac{2}{-0{,}25}=\boxed{8 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}}$$

$$\boxed{\text{C'est la concentration vers laquelle le sang tend à la longue}}$$ Elle correspond à l'équilibre entre l'apport de la perfusion et l'élimination par l'organisme.

2. Les solutions sont $t\mapsto C\mathrm{e}^{-0,25t}+8$, et $c(0)=0$ donne $C+8=0$, soit $C=-8$ : $$c(t)=-8\,\mathrm{e}^{-0,25t}+8 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{c(t)=8\left(1-\mathrm{e}^{-0,25\,t}\right)}$$

3. $$c(4)=8\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)\approx\boxed{5{,}06 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}}$$

4. $$c'(t)=8\times 0{,}25\,\mathrm{e}^{-0,25t}=2\,\mathrm{e}^{-0,25t}>0$$

$$\boxed{c \text{ est strictement croissante sur } [0\,;+\infty[}$$ La concentration augmente donc continûment, de plus en plus lentement.

5. On résout $c(t)=6$ : $$8\left(1-\mathrm{e}^{-0,25t}\right)=6 \iff \mathrm{e}^{-0,25t}=1-\frac{6}{8}=\frac{1}{4} \iff -0{,}25\,t=-\ln 4$$

6. Pour tout $t\geqslant 0$, on a $\mathrm{e}^{-0,25t}>0$, donc $1-\mathrm{e}^{-0,25t}<1$ et : $$c(t)=8\left(1-\mathrm{e}^{-0,25t}\right)<8$$

$$\boxed{\text{La concentration reste toujours strictement inférieure à } 8 \text{ mg}\cdot\text{L}^{-1}}$$ Comme $8<10$, le seuil de toxicité ne peut jamais être atteint : $$\boxed{\text{La perfusion est sans danger, quelle que soit sa durée}}$$ C'est tout l'intérêt de ce mode d'administration : le débit constant fixe une concentration plafond, indépendante du temps de traitement.