ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Exercices de synthèse

Exercice 25 Type Bac

Type BacLecture graphiqueCalcul

Un plat sorti du four à $180$ °C est posé dans une cuisine dont la température est de $20$ °C. On note $\theta(t)$ sa température au bout de $t$ minutes. On admet que $\theta$ est solution de l'équation différentielle $\theta'=-0{,}03\,\theta+0{,}6$ .

1. Lire graphiquement la température initiale du plat, ainsi qu'une valeur approchée de sa température au bout de $60$ minutes.

2. Déterminer la valeur d'équilibre de l'équation. Que représente la droite tracée en pointillés ?

3. Résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale $\theta(0)=180$ .

4. Calculer $\theta(30)$ et en donner une valeur approchée au dixième. Comparer à la lecture graphique.

5. Le plat peut être servi lorsque sa température descend à $60$ °C. Déterminer au bout de combien de temps, à la minute près.

6. Étudier le sens de variation de $\theta$ et déterminer sa limite en $+\infty$ . Interpréter.

Corrigé

1. On lit l'ordonnée à l'origine de la courbe, puis celle du point d'abscisse $60$ : $\boxed{\theta(0)=180 \text{ °C} \qquad ; \qquad \theta(60)\approx 46 \text{ °C}}$

2. Ici $a=-0{,}03$ et $b=0{,}6$ : $-\frac{b}{a}=-\frac{0{,}6}{-0{,}03}=\boxed{20}$

\boxed{\text{La droite en pointillés est l'asymptote horizontale : c'est la température de la cuisine}}

3. Les solutions sont $t\mapsto C\mathrm{e}^{-0,03t}+20$ , et $\theta(0)=180$ donne $C+20=180$ , soit $C=160$ : $\boxed{\theta(t)=160\,\mathrm{e}^{-0,03\,t}+20}$

4. $\theta(30)=160\,\mathrm{e}^{-0,9}+20\approx\boxed{85{,}1 \text{ °C}}$ La lecture graphique au point d'abscisse $30$ donnait bien une valeur voisine de $85$ °C.

5. On résout $\theta(t)=60$ : $160\,\mathrm{e}^{-0,03t}=40 \iff \mathrm{e}^{-0,03t}=\frac{1}{4} \iff -0{,}03\,t=-\ln 4$

t=\frac{\ln 4}{0{,}03}\approx 46{,}2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\text{le plat peut être servi au bout d'environ } 46 \text{ minutes}}

6. $\theta'(t)=160\times(-0{,}03)\mathrm{e}^{-0,03t}=-4{,}8\,\mathrm{e}^{-0,03t}<0$

\boxed{\theta \text{ est strictement décroissante} \qquad ; \qquad \lim_{t\to+\infty}\theta(t)=20}

$\boxed{\text{Le plat refroidit sans jamais descendre exactement à } 20 \text{ °C}}$ On observe sur la courbe que le refroidissement est rapide au début, puis de plus en plus lent : c'est logique, puisque la vitesse $-0{,}03(\theta-20)$ est proportionnelle à l'écart avec la température ambiante, écart qui diminue.

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 14 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Thèmes

équation différentielle, vérifier une solution, condition initiale, valeur d'équilibre, loi de refroidissement, tableau de variations, lecture graphique

Notions

équation différentielle