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ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Exercices de synthèse

Exercice 24 Type Bac

Type BacLecture graphiqueCalcul

On considère l'équation différentielle (E):y′=−2y+6(E) : y'=-2y+6, et l'on note ff sa solution vérifiant f(0)=1f(0)=1.

1. Déterminer la valeur d'équilibre de (E)(E), puis la forme générale de ses solutions.

2. Démontrer que f(x)=−2e−2x+3f(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}+3.

3. Calculer f′(x)f'(x) et en déduire le sens de variation de ff sur ℝ\mathbb{R}.

4. Déterminer lim⁡x→+∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) et lim⁡x→−∞f(x)\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x). Interpréter graphiquement la première.

5. Résoudre l'équation f(x)=0f(x)=0. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième.

6. En déduire le signe de f(x)f(x) selon les valeurs de xx.

7. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de ff au point d'abscisse 00.

8. Dresser le tableau de variations complet de ff.

Corrigé

1. Ici a=−2a=-2 et b=6b=6, donc : −ba=−6−2=3-\frac{b}{a}=-\frac{6}{-2}=\boxed{3}

Les solutions sont les fonctions x↦Ce−2x+3\boxed{\text{Les solutions sont les fonctions } x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}+3}

2. La condition f(0)=1f(0)=1 donne C+3=1C+3=1, soit C=−2C=-2 : f(x)=−2e−2x+3\boxed{f(x)=-2\mathrm{e}^{-2x}+3}

3. f′(x)=−2×(−2)e−2x=4e−2xf'(x)=-2\times(-2)\mathrm{e}^{-2x}=4\mathrm{e}^{-2x} L'exponentielle étant strictement positive, f′(x)>0f'(x)>0 : f est strictement croissante sur ℝ\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}}

4. Comme −2<0-2<0 : lim⁡x→+∞f(x)=3;lim⁡x→−∞f(x)=−∞\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=3 \qquad ; \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}

La droite d’eˊquation y=3 est asymptote horizontale en +∞\boxed{\text{La droite d'équation } y=3 \text{ est asymptote horizontale en } +\infty}

5. −2e−2x+3=0  ⟺  e−2x=32  ⟺  −2x=ln⁡(32)-2\mathrm{e}^{-2x}+3=0 \iff \mathrm{e}^{-2x}=\frac{3}{2} \iff -2x=\ln\left(\frac{3}{2}\right)

x=−ln⁡(32)2≈−0,203\boxed{x=-\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{2}\approx -0{,}203}

6. La fonction ff étant strictement croissante et s'annulant en ce point unique : f(x)<0 pour x<−ln⁡(32)2etf(x)>0 au-delaˋ\boxed{f(x)<0 \text{ pour } x<-\frac{\ln\left(\frac{3}{2}\right)}{2} \quad \text{et} \quad f(x)>0 \text{ au-delà}}

7. On a f(0)=1f(0)=1 et f′(0)=4e0=4f'(0)=4\mathrm{e}^{0}=4, d'où y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0) : T:y=4x+1\boxed{T : y=4x+1}

8.

Figure

La valeur 33 n'est pas atteinte : elle n'est qu'une limite, matérialisée par l'asymptote.

Énoncé PDF, p. 9Corrigé PDF, p. 13Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay + b, condition initiale, valeur d'équilibre, limite, tableau de variations, lecture graphique

Notions

équation différentielle

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