Exercice 23 Vrai ou faux

1. Vraie. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{3x}$, et chaque valeur du réel $C$ en fournit une : il y en a donc une infinité.

2. Vraie. Si $f=0$, alors $f'=0$ et $af=0$ : l'égalité est vérifiée quel que soit $a$. C'est le cas $C=0$ du théorème 1.

3. Fausse. Si $f=0$, alors $f'=0$ tandis que $2f+1=1\neq 0$. La fonction nulle n'est solution de $y'=ay+b$ que si $b=0$.

4. Vraie. Si $f'=af$ et $g'=ag$, alors : $$(f+g)'=f'+g'=af+ag=a(f+g)$$ La somme est donc bien solution.

5. Fausse. Si $f'=af+b$ et $g'=ag+b$, alors : $$(f+g)'=af+b+ag+b=a(f+g)+2b$$ On obtient $2b$ et non $b$ : la somme est solution de $y'=ay+2b$. Contre-exemple avec $y'=y+1$ : la fonction constante $-1$ est solution, mais la fonction constante $-2$ ne l'est pas.

6. Fausse. C'est exactement ce qu'interdit le théorème 2 : par chaque point du plan passe une unique courbe intégrale. Si deux courbes se coupaient en un point, il y aurait deux solutions pour une même condition initiale.

7. Vraie. Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}+3$. Comme $-1<0$, le terme $C\mathrm{e}^{-x}$ tend vers $0$ en $+\infty$, et ce quelle que soit la valeur de $C$.

8. Vraie. Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}$, et la condition donne $C=0$ : c'est bien la fonction nulle. L'unicité du théorème 2 garantit qu'il n'y en a pas d'autre.

9. Fausse. C'est précisément le point remarquable de la proposition 1 : $T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ ne dépend que de $\lambda$, donc de la nature du noyau, et nullement de $N_{0}$.

10. Vraie. Une solution non nulle s'écrit $C\mathrm{e}^{ax}$ avec $C\neq 0$. Comme l'exponentielle est strictement positive, le signe de $f(x)$ est celui de $C$ : il est constant, et $f$ ne s'annule jamais.