ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Exercices de synthèse

Exercice 22 QCM

QCMDémonstration

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. La justifier.

Question	Réponse A	Réponse B	Réponse C
1. Les solutions de $y'=5y$ sont les fonctions :	$x\mapsto C\mathrm{e}^{5x}$	$x\mapsto 5\mathrm{e}^{Cx}$	$x\mapsto C\mathrm{e}^{-5x}$
2. Les solutions de $y'=-2y+8$ sont les fonctions :	$x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}-4$	$x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}+4$	$x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}+4$
3. La valeur d'équilibre de $y'=3y-9$ est :	$3$	$-3$	$9$
4. La solution de $y'=y$ vérifiant $y(0)=2$ est :	$x\mapsto\mathrm{e}^{2x}$	$x\mapsto 2\mathrm{e}^{x}$	$x\mapsto\mathrm{e}^{x}+1$
5. La fonction $x\mapsto 4\mathrm{e}^{-3x}$ est solution de :	$y'=-3y$	$y'=4y$	$y'=3y$
6. Si $a<0$ , les solutions non nulles de $y'=ay$ ont pour limite en $+\infty$ :	$0$	$+\infty$	$-\infty$
7. L'équation $y'=2y$ admet comme solution constante :	aucune	la fonction nulle	toutes les constantes
8. Une équation $y'=ay+b$ avec une condition initiale admet :	aucune solution	une unique solution	une infinité de solutions
9. La demi-vie d'un noyau de constante $\lambda$ vaut :	$\dfrac{\lambda}{\ln 2}$	$\dfrac{\ln 2}{\lambda}$	$\lambda\ln 2$
10. L'équation $2y'+6y=0$ s'écrit aussi :	$y'=3y$	$y'=-3y$	$y'=-6y$

Corrigé

Question	Réponse	Justification
1	A	Théorème 1 avec $a=5$ . La réponse B place la constante au mauvais endroit, la réponse C se trompe de signe.
2	B	Ici $a=-2$ et $b=8$ , donc $-\dfrac{b}{a}=4$ .
3	A	$a=3$ et $b=-9$ , donc $-\dfrac{b}{a}=3$ .
4	B	Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{x}$ , et $C=2$ . La réponse A confond la constante multiplicative avec le coefficient de $x$ .
5	A	La dérivée vaut $-12\mathrm{e}^{-3x}$ , soit $-3$ fois la fonction.
6	A	Si $a<0$ , alors $\mathrm{e}^{ax}$ tend vers $0$ en $+\infty$ , et $C\mathrm{e}^{ax}$ aussi.
7	B	La fonction nulle correspond à $C=0$ . Une constante non nulle aurait une dérivée nulle sans que $2y$ le soit.
8	B	C'est le théorème 2, étendu au cas $y'=ay+b$ par le théorème 3.
9	B	C'est la proposition 1 : $T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ .
10	B	En divisant par $2$ : $y'+3y=0$ , soit $y'=-3y$ .

équation différentielle, équation y' = ay, équation y' = ay + b, vérifier une solution, condition initiale, valeur d'équilibre, radioactivité