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ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Modélisation

Exercice 21

Calcul

Un parachutiste saute d'un avion sans vitesse initiale. Sa vitesse v(t)v(t), en m⋅\cdots−1^{-1} au bout de tt secondes, vérifie l'équation différentielle : v′=−0,2 v+9,8v'=-0{,}2\,v+9{,}8 la constante 9,89{,}8 étant l'accélération de la pesanteur et le terme −0,2 v-0{,}2\,v traduisant les frottements de l'air.

1. Déterminer la valeur d'équilibre de cette équation. On l'appelle vitesse limite.

2. Résoudre l'équation avec la condition initiale v(0)=0v(0)=0, et vérifier que v(t)=49(1−e−0,2 t)v(t)=49\left(1-\mathrm{e}^{-0,2\,t}\right).

3. Calculer v(5)v(5) et en donner une valeur approchée au dixième.

4. Étudier le sens de variation de vv sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[, puis déterminer lim⁡t→+∞v(t)\displaystyle\lim_{t\to+\infty}v(t).

5. Au bout de combien de temps le parachutiste atteint-il 4040 m⋅\cdots−1^{-1} ?

6. Le parachutiste atteint-il un jour exactement la vitesse limite ? Justifier mathématiquement, puis commenter physiquement.

Corrigé

1. Ici a=−0,2a=-0{,}2 et b=9,8b=9{,}8 : −ba=−9,8−0,2=49 m⋅s−1-\frac{b}{a}=-\frac{9{,}8}{-0{,}2}=\boxed{49 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

2. Les solutions sont t↦Ce−0,2t+49t\mapsto C\mathrm{e}^{-0,2t}+49. La condition v(0)=0v(0)=0 donne C+49=0C+49=0, soit C=−49C=-49 : v(t)=−49 e−0,2t+49d’ouˋv(t)=49(1−e−0,2 t)v(t)=-49\,\mathrm{e}^{-0,2t}+49 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{v(t)=49\left(1-\mathrm{e}^{-0,2\,t}\right)}

3. v(5)=49(1−e−1)≈31,0 m⋅s−1v(5)=49\left(1-\mathrm{e}^{-1}\right)\approx\boxed{31{,}0 \text{ m}\cdot\text{s}^{-1}}

4. v′(t)=49×0,2 e−0,2t=9,8 e−0,2t>0v'(t)=49\times 0{,}2\,\mathrm{e}^{-0,2t}=9{,}8\,\mathrm{e}^{-0,2t}>0

v est strictement croissante sur [0 ;+∞[\boxed{v \text{ est strictement croissante sur } [0\,;+\infty[}
lim⁡t→+∞v(t)=49\boxed{\lim_{t\to+\infty}v(t)=49}

5. On résout v(t)=40v(t)=40 : 49(1−e−0,2t)=40  ⟺  e−0,2t=1−4049=94949\left(1-\mathrm{e}^{-0,2t}\right)=40 \iff \mathrm{e}^{-0,2t}=1-\frac{40}{49}=\frac{9}{49}

−0,2 t=−ln⁡(499)d’ouˋt=ln⁡(499)0,2≈8,5 secondes-0{,}2\,t=-\ln\left(\frac{49}{9}\right) \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{t=\frac{\ln\left(\frac{49}{9}\right)}{0{,}2}\approx 8{,}5 \text{ secondes}}

6. Il faudrait e−0,2t=0\mathrm{e}^{-0,2t}=0, ce qui est impossible : La vitesse limite n’est jamais atteinte exactement\boxed{\text{La vitesse limite n'est jamais atteinte exactement}} Physiquement, l'écart devient toutefois négligeable très vite : au bout de 3030 secondes, v(30)=49(1−e−6)≈48,88v(30)=49\left(1-\mathrm{e}^{-6}\right)\approx 48{,}88 m⋅\cdots−1^{-1}, soit moins de 0,3 %0{,}3\ \% d'écart. C'est ce qui justifie l'expression courante de « vitesse limite atteinte ».

Énoncé PDF, p. 7Corrigé PDF, p. 11Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Thèmes

équation différentielle, condition initiale, valeur d'équilibre, chute avec frottements, limite, tableau de variations

Notions

équation différentielle

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