Exercice 20

1. Les solutions de $N'=0{,}3\,N$ sont $t\mapsto C\mathrm{e}^{0,3t}$, et $N(0)=500$ donne $C=500$ : $$\boxed{N(t)=500\,\mathrm{e}^{0,3\,t}}$$

2. $$N(5)=500\,\mathrm{e}^{1,5}\approx\boxed{2\,241 \text{ bactéries}}$$

3. Le temps de doublement $T$ vérifie $\mathrm{e}^{0,3T}=2$, soit : $$\boxed{T=\frac{\ln 2}{0{,}3}\approx 2{,}31 \text{ heures}}$$

4. $$500\,\mathrm{e}^{0,3t}=10\,000 \iff \mathrm{e}^{0,3t}=20 \iff t=\frac{\ln 20}{0{,}3} \approx\boxed{9{,}99 \text{ heures}}$$

5. Comme $0{,}3>0$ : $$\boxed{\lim_{t\to+\infty}N(t)=+\infty}$$

$$\boxed{\text{Le modèle ne peut pas rester valable indéfiniment}}$$ Une croissance exponentielle sans limite est physiquement impossible : le milieu de culture est de taille finie, les nutriments s'épuisent et les déchets s'accumulent. Au-delà d'un certain seuil, il faut recourir à un modèle tenant compte de ces contraintes — comme l'équation logistique rencontrée à l'exercice 4.