Exercice 19

1. En développant la loi de Newton avec $\theta_{\text{ext}}=22$ et $k=0{,}04$ : $$\theta'=-0{,}04\left(\theta-22\right)=-0{,}04\,\theta+0{,}04\times 22$$

2. Ici $a=-0{,}04$ et $b=0{,}88$ : $$-\frac{b}{a}=-\frac{0{,}88}{-0{,}04}=\boxed{22}$$

3. Les solutions sont $t\mapsto C\mathrm{e}^{-0,04t}+22$. La condition $\theta(0)=100$ donne $C+22=100$, soit $C=78$ : $$\boxed{\theta(t)=78\,\mathrm{e}^{-0,04\,t}+22}$$

4. $$\theta(15)=78\,\mathrm{e}^{-0,6}+22\approx\boxed{64{,}8 \text{ °C}}$$

5. On résout $\theta(t)=50$ : $$78\,\mathrm{e}^{-0,04t}=28 \iff \mathrm{e}^{-0,04t}=\frac{28}{78}=\frac{14}{39} \iff -0{,}04\,t=-\ln\left(\frac{39}{14}\right)$$

6. Comme $-0{,}04<0$, le terme $78\mathrm{e}^{-0,04t}$ tend vers $0$ : $$\boxed{\lim_{t\to+\infty}\theta(t)=22}$$ Cette limite n'est jamais atteinte, puisque $78\mathrm{e}^{-0,04t}>0$ pour tout $t$ : $$\boxed{\text{L'objet ne descend jamais exactement à } 22 \text{ °C}}$$ En pratique, l'écart devient indétectable au bout de quelques heures.