Exercice 18

1. La proposition 1 du cours donne $T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$, donc : $$\boxed{\lambda=\frac{\ln 2}{5730}\approx 1{,}21\times 10^{-4} \text{ an}^{-1}}$$

2. On résout $\mathrm{e}^{-\lambda t}=0{,}3$ : $$-\lambda t=\ln(0{,}3) \iff t=\frac{\ln\left(\frac{10}{3}\right)}{\lambda}$$

3. $$\frac{N(10\,000)}{N_{0}}=\mathrm{e}^{-1,21\times 10^{-4}\times 10\,000} =\mathrm{e}^{-1,2097}\approx 0{,}298$$

4. $$\mathrm{e}^{-\lambda t}=0{,}01 \iff t=\frac{\ln 100}{\lambda}\approx \boxed{38\,069 \text{ ans}}$$

5. D'après la question précédente, la proportion tombe sous le seuil de détection au bout d'environ $38\,000$ ans. $$\boxed{\text{La datation au carbone } 14 \text{ n'est pas fiable au-delà de } 40\,000 \text{ à } 50\,000 \text{ ans}}$$ Pour dater des échantillons plus anciens, on utilise d'autres couples d'isotopes, de demi-vie bien plus longue — par exemple le potassium-argon, dont la demi-vie dépasse le milliard d'années.