Exercice 17

1. La vitesse de désintégration est proportionnelle au nombre d'atomes présents, avec un coefficient de proportionnalité négatif puisque leur nombre diminue : $$\boxed{N'(t)=-\lambda\,N(t)=-0{,}02\,N(t)}$$

2. C'est l'équation $y'=ay$ avec $a=-0{,}02$, donc $N(t)=C\mathrm{e}^{-0,02t}$. La condition $N(0)=10^{12}$ donne $C=10^{12}$ : $$\boxed{N(t)=10^{12}\,\mathrm{e}^{-0,02\,t}}$$

3. $$N(50)=10^{12}\,\mathrm{e}^{-1}\approx\boxed{3{,}68\times 10^{11} \text{ atomes}}$$

4. La demi-vie vérifie $N(T)=\dfrac{N_{0}}{2}$ : $$10^{12}\mathrm{e}^{-0,02T}=\frac{10^{12}}{2} \iff \mathrm{e}^{-0,02T}=\frac{1}{2} \iff -0{,}02\,T=-\ln 2$$

5. On résout $N(t)=0{,}1\times 10^{12}$ : $$\mathrm{e}^{-0,02t}=0{,}1 \iff -0{,}02\,t=-\ln 10 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{t=\frac{\ln 10}{0{,}02}\approx 115{,}1 \text{ ans}}$$

6. Pour tout $t\geqslant 0$ : $$\begin{aligned} N(t+T) &= 10^{12}\,\mathrm{e}^{-0,02(t+T)}=10^{12}\,\mathrm{e}^{-0,02t}\times\mathrm{e}^{-0,02T} \\ &= N(t)\times\mathrm{e}^{-\ln 2}=N(t)\times\frac{1}{2} \end{aligned}$$