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ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · L'équation y′=ay+by'=ay+b

Exercice 16

Calcul

Une fonction ff est solution d'une équation différentielle de la forme y′=ay+by'=ay+b. On sait que f(0)=1f(0)=1, que la valeur d'équilibre vaut 55, et que f′(0)=4f'(0)=4.

1. Justifier que ff s'écrit sous la forme f(x)=Ceax+5f(x)=C\mathrm{e}^{ax}+5, puis déterminer CC.

2. En calculant f′(0)f'(0), déterminer la valeur de aa.

3. En déduire la valeur de bb, puis l'équation différentielle vérifiée par ff.

4. Donner l'expression de f(x)f(x) et vérifier les trois conditions de l'énoncé.

Corrigé

1. D'après le théorème 3, les solutions s'écrivent Ceax−baC\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}. La valeur d'équilibre valant 55 : f(x)=Ceax+5\boxed{f(x)=C\mathrm{e}^{ax}+5} La condition f(0)=1f(0)=1 donne C+5=1C+5=1 : C=−4\boxed{C=-4}

2. On dérive : f′(x)=aCeax=−4a eaxf'(x)=aC\mathrm{e}^{ax}=-4a\,\mathrm{e}^{ax}, donc f′(0)=−4af'(0)=-4a. La condition f′(0)=4f'(0)=4 donne : −4a=4  ⟺  a=−1-4a=4 \iff \boxed{a=-1}

3. De −ba=5-\dfrac{b}{a}=5 avec a=−1a=-1, on tire b=−5a=5b=-5a=5 : b=5, l’eˊquation est y′=−y+5\boxed{b=5, \text{ l'équation est } y'=-y+5}

4. f(x)=−4e−x+5\boxed{f(x)=-4\mathrm{e}^{-x}+5} Vérifications : f(0)=−4+5=1f(0)=-4+5=1 ; la valeur d'équilibre vaut −5−1=5-\dfrac{5}{-1}=5 ; enfin f′(x)=4e−xf'(x)=4\mathrm{e}^{-x} donc f′(0)=4f'(0)=4. Les trois conditions sont bien satisfaites.

Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 8Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz localL'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay, équation y' = ay + b, vérifier une solution, valeur d'équilibre

Notions

équation différentielle, exponentielle

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