Exercice 15

1. Les trois courbes se rapprochent toutes de la droite $y=4$ sans jamais la traverser : c'est la valeur d'équilibre de l'équation, c'est-à-dire $-\dfrac{b}{a}$. $$\boxed{-\frac{b}{a}=4, \text{ c'est-à-dire } b=-4a}$$ La droite est asymptote horizontale à toutes les courbes intégrales.

2. Les courbes convergent vers l'équilibre lorsque $x$ augmente, c'est-à-dire que le terme $C\mathrm{e}^{ax}$ tend vers $0$ en $+\infty$. Cela n'est possible que si $a<0$. $$\boxed{a \text{ est strictement négatif}}$$

3. Avec $a=-0{,}5$, la relation $b=-4a$ donne $b=2$ : $$\boxed{b=2, \text{ l'équation est } y'=-0{,}5\,y+2}$$

4. Comme $f(0)=C+4$, la constante se lit en retranchant $4$ à l'ordonnée en $x=0$ : $$\boxed{\mathcal{C}_{1} : C=8-4=4 \quad ; \quad \mathcal{C}_{2} : C=5-4=1 \quad ; \quad \mathcal{C}_{3} : C=1-4=-3}$$

5. Oui : pour $C=0$, on obtient la fonction constante égale à $4$. $$\boxed{\text{La fonction constante } x\mapsto 4 \text{ est solution}}$$ On le vérifie : sa dérivée est nulle, et $-0{,}5\times 4+2=0$.

6. Non. Traverser la droite signifierait couper la courbe intégrale correspondant à $C=0$, ce qui est interdit par le théorème d'unicité. $$\boxed{\text{Une courbe intégrale reste toujours du même côté de la droite } y=4}$$ On le voit aussi sur l'expression : le signe de $f(x)-4=C\mathrm{e}^{-0,5x}$ est celui de $C$, donc constant.