Exercice 14

1. Ici $a=-0{,}4$ et $b=6$ : $$-\frac{b}{a}=-\frac{6}{-0{,}4}=\boxed{15}$$

2. Les solutions sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,4x}+15$. La condition $f(0)=2$ donne $C+15=2$, soit $C=-13$ : $$\boxed{f(x)=-13\mathrm{e}^{-0,4x}+15}$$

3. Comme $-0{,}4<0$, on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-0,4x}=0$, donc : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=15}$$

4. $$f'(x)=-13\times(-0{,}4)\mathrm{e}^{-0,4x}=5{,}2\,\mathrm{e}^{-0,4x}$$ L'exponentielle étant strictement positive, $f'(x)>0$ pour tout $x$ : $$\boxed{f \text{ est strictement croissante sur } \mathbb{R}}$$

5. Non. Il faudrait $-13\mathrm{e}^{-0,4x}+15=15$, c'est-à-dire $\mathrm{e}^{-0,4x}=0$, ce qui est impossible. $$\boxed{f \text{ n'atteint jamais la valeur d'équilibre : elle s'en approche seulement}}$$

6. $$-13\mathrm{e}^{-0,4x}+15=10 \iff -13\mathrm{e}^{-0,4x}=-5 \iff \mathrm{e}^{-0,4x}=\frac{5}{13}$$ En appliquant le logarithme népérien : $$-0{,}4\,x=\ln\left(\frac{5}{13}\right)=-\ln\left(\frac{13}{5}\right)$$