Exercice 13

a) $3y'=6y+9 \iff y'=2y+3$, d'où $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{3}{2}$ : $$\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}-\frac{3}{2}}$$

b) $y'+2y-8=0 \iff y'=-2y+8$, d'où $-\dfrac{b}{a}=4$ : $\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}+4}$

c) $5y'-y=10 \iff y'=0{,}2\,y+2$, d'où $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{2}{0{,}2}=-10$ : $$\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{0,2x}-10}$$

d) $2y'=3-y \iff y'=-0{,}5\,y+1{,}5$, d'où $-\dfrac{b}{a}=3$ : $\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,5x}+3}$

e) $y'=4(y-2)=4y-8$, d'où $-\dfrac{b}{a}=2$ : $\boxed{x\mapsto C\mathrm{e}^{4x}+2}$

f) $2y'+y=6 \iff y'=-0{,}5\,y+3$, d'où $-\dfrac{b}{a}=6$ et les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,5x}+6$. La condition $y(0)=1$ donne $C+6=1$, soit $C=-5$ : $$\boxed{f(x)=-5\mathrm{e}^{-0,5x}+6}$$