Exercice 12

a) Ici $a=3$ et $b=-6$, donc $-\dfrac{b}{a}=2$ et les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{3x}+2$. La condition $y(0)=4$ donne : $$C+2=4 \iff C=2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{f(x)=2\mathrm{e}^{3x}+2}$$

b) $a=-1$, $b=2$, donc $-\dfrac{b}{a}=2$ et les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}+2$. La condition donne $C+2=5$, soit $C=3$ : $$\boxed{f(x)=3\mathrm{e}^{-x}+2}$$

c) $a=-0{,}2$, $b=1$, donc $-\dfrac{b}{a}=5$. La condition donne $C+5=10$, soit $C=5$ : $$\boxed{f(x)=5\mathrm{e}^{-0,2x}+5}$$

d) $a=4$, $b=8$, donc $-\dfrac{b}{a}=-2$ et les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{4x}-2$. La condition $y(1)=0$ donne : $$C\mathrm{e}^{4}-2=0 \iff C=\frac{2}{\mathrm{e}^{4}}=2\mathrm{e}^{-4}$$