ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · L'équation $y'=ay+b$

Exercice 11

Calcul

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes. On identifiera $a$ et $b$ , puis on calculera la valeur d'équilibre $-\dfrac{b}{a}$ .

a) $y'=2y+6$

b) $y'=-y+4$

c) $y'=3y-12$

d) $y'=-0{,}5\,y+2$

e) $y'=5y+1$

f) $y'=-2y-6$

Corrigé

D'après le théorème 3, les solutions de $y'=ay+b$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ .

\begin{array}{|c||c|c|c|c|} \hline & \text{Équation} & a & -\dfrac{b}{a} & \text{Solutions} \\ \hline \text{a)} & y'=2y+6 & 2 & -3 & x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}-3 \\ \hline \text{b)} & y'=-y+4 & -1 & 4 & x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}+4 \\ \hline \text{c)} & y'=3y-12 & 3 & 4 & x\mapsto C\mathrm{e}^{3x}+4 \\ \hline \text{d)} & y'=-0{,}5\,y+2 & -0{,}5 & 4 & x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,5x}+4 \\ \hline \text{e)} & y'=5y+1 & 5 & -\dfrac{1}{5} & x\mapsto C\mathrm{e}^{5x}-\dfrac{1}{5} \\ \hline \text{f)} & y'=-2y-6 & -2 & -3 & x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x}-3 \\ \hline \end{array}

On prendra garde aux signes : en a), $b=6$ et $a=2$ , donc $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{6}{2}=-3$ , et la constante s'ajoute sous la forme $-3$ .

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Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay + b, valeur d'équilibre

Notions

équation différentielle