Exercice 10

1. Les solutions de $y'=-4y$ sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-4x}$, et $f(0)=C=5$ : $$\boxed{f(x)=5\mathrm{e}^{-4x}}$$

2. $$f'(x)=5\times(-4)\mathrm{e}^{-4x}=-20\mathrm{e}^{-4x}$$ Comme l'exponentielle est strictement positive, $f'(x)<0$ pour tout $x$ : $$\boxed{f \text{ est strictement décroissante sur } \mathbb{R}}$$

3. Comme $-4<0$, on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-4x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-4x}=+\infty$ : $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \qquad ; \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}$$

4. Non : $f(x)=5\mathrm{e}^{-4x}$ est un produit d'un réel non nul par une exponentielle, qui ne s'annule jamais. $$\boxed{f \text{ ne s'annule pas sur } \mathbb{R}}$$ C'est un phénomène général : une solution non nulle de $y'=ay$ garde un signe constant.

5. $$5\mathrm{e}^{-4x}=1 \iff \mathrm{e}^{-4x}=\frac{1}{5} \iff -4x=\ln\left(\frac{1}{5}\right)=-\ln 5$$

6. Les solutions de $y'=3y$ sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{3x}$, et $g(0)=-2$ donne $g(x)=-2\mathrm{e}^{3x}$. Alors $g'(x)=-6\mathrm{e}^{3x}<0$ : $\boxed{g \text{ est strictement décroissante}}$ $$\boxed{\lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty \qquad ; \qquad \lim_{x\to-\infty}g(x)=0}$$

$$\boxed{\text{Le signe de } a \text{ décide du côté où la solution tend vers } 0 : \text{ en } +\infty \text{ si } a<0, \text{ en } -\infty \text{ si } a>0}$$ Le signe de $C$, lui, ne fait que décider si la courbe est au-dessus ou en dessous de l'axe.