Exercice 9

1. Ici $a=0{,}5$, donc d'après le théorème 1 : $$\boxed{\text{Les solutions sont les fonctions } x\mapsto C\mathrm{e}^{0,5x}, \text{ avec } C\in\mathbb{R}}$$

2. Comme $f(0)=C\mathrm{e}^{0}=C$, la constante $C$ se lit directement comme l'ordonnée du point d'abscisse $0$. $$\boxed{\mathcal{C}_{1} : C=2 \quad ; \quad \mathcal{C}_{2} : C=1 \quad ; \quad \mathcal{C}_{3} : C=-1 \quad ; \quad \mathcal{C}_{4} : C=-3}$$

3. La condition $f(0)=4$ donne $C=4$ : $\boxed{f(x)=4\mathrm{e}^{0,5x}}$

4. Non. D'après le théorème 2, par tout point $(x_{0}\,;y_{0})$ du plan passe une unique solution. Si deux courbes intégrales se coupaient en un point, il y aurait deux solutions distinctes vérifiant la même condition initiale, ce qui contredirait ce théorème. $$\boxed{\text{Deux courbes intégrales distinctes ne se coupent jamais}}$$

5. Oui : la valeur $C=0$ donne la fonction nulle, dont la dérivée est nulle et qui vérifie bien $y'=0{,}5\times 0$. $$\boxed{\text{La fonction nulle est l'unique solution constante}}$$ Sa courbe est l'axe des abscisses lui-même : elle n'a pas été tracée en couleur puisqu'elle se confond avec cet axe.