ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · L'équation $y'=ay$

Exercice 8

Calcul

1. Une fonction $f$ est solution de $y'=ay$ et vérifie $f(0)=2$ et $f(1)=2\mathrm{e}^{3}$ . Déterminer $a$ , puis l'expression de $f$ .

2. Une fonction $g$ est solution de $y'=ay$ et vérifie $g(0)=1$ et $g(2)=\mathrm{e}^{-6}$ . Déterminer $a$ .

3. Une population évolue selon l'équation $y'=ay$ et double tous les $10$ ans. Déterminer la valeur exacte de $a$ , puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Corrigé

1. $f$ est de la forme $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ . La condition $f(0)=2$ donne $C=2$ , puis : $f(1)=2\mathrm{e}^{a}=2\mathrm{e}^{3} \iff \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{3} \iff \boxed{a=3}$

\boxed{f(x)=2\mathrm{e}^{3x}}

2. De même $g(0)=1$ donne $C=1$ , puis : $g(2)=\mathrm{e}^{2a}=\mathrm{e}^{-6} \iff 2a=-6 \iff \boxed{a=-3}$

3. En notant $N(t)=C\mathrm{e}^{at}$ la population, l'hypothèse de doublement s'écrit $N(t+10)=2N(t)$ pour tout $t$ , soit : $C\mathrm{e}^{a(t+10)}=2\,C\mathrm{e}^{at} \iff \mathrm{e}^{at}\times\mathrm{e}^{10a}=2\,\mathrm{e}^{at} \iff \mathrm{e}^{10a}=2$ En appliquant le logarithme népérien : $10a=\ln 2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{a=\frac{\ln 2}{10}\approx 0{,}0693}$

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Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local L'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay, vérifier une solution, croissance de population

Notions

équation différentielle, exponentielle