Exercice 3

1. $f(x)=\mathrm{e}^{kx}$ donne $f'(x)=k\mathrm{e}^{kx}$, tandis que $5f(x)=5\mathrm{e}^{kx}$. L'égalité pour tout $x$ impose $k=5$ : $$\boxed{k=5}$$

2. $f(x)=a\mathrm{e}^{2x}+b$ donne $f'(x)=2a\mathrm{e}^{2x}$, et : $$2f(x)-8=2a\mathrm{e}^{2x}+2b-8$$ L'égalité pour tout $x$ impose $2b-8=0$, soit $b=4$, sans aucune condition sur $a$ : $$\boxed{b=4 \text{ et } a \text{ quelconque : il y a une infinité de possibilités}}$$ On retrouve la forme $C\mathrm{e}^{2x}+4$ du théorème 3, avec $-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-8}{2}=4$.

3. $$f(1)=C\mathrm{e}^{-2}=6 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{C=6\mathrm{e}^{2}}$$

4. On dérive le produit : $$f'(x)=1\times\mathrm{e}^{x}+(x+m)\mathrm{e}^{x}=(x+m+1)\mathrm{e}^{x}$$

$$f(x)+\mathrm{e}^{x}=(x+m)\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}=(x+m+1)\mathrm{e}^{x}$$ Les deux expressions sont égales quelle que soit la valeur de $m$ : $$\boxed{\text{Toute valeur de } m \text{ convient}}$$ Ce n'est pas surprenant : les fonctions $x\mapsto(x+m)\mathrm{e}^{x}$ s'écrivent $x\mathrm{e}^{x}+m\mathrm{e}^{x}$, c'est-à-dire une solution particulière à laquelle on ajoute $m\mathrm{e}^{x}$, solution de $y'=y$. C'est exactement la structure décrite dans le cours.