Exercices › Terminale › Équations différentielles › Exercice 4 Exercice Terminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Notion d'équation différentielle
Exercice 4 Calcul
Vérifier que chacune des fonctions suivantes est solution de l'équation différentielle indiquée.
1. f ( x ) = x 2 e − x f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{-x} y ′ = − y + 2 x e − x y'=-y+2x\mathrm{e}^{-x}
2. f ( x ) = ( 2 x + 1 ) e 3 x f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{3x} y ′ = 3 y + 2 e 3 x y'=3y+2\mathrm{e}^{3x}
3. f ( x ) = 1 1 + e − x f(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}} y ′ = y ( 1 − y ) y'=y(1-y)
La troisième équation, dite logistique , modélise une croissance limitée par les ressources du milieu. Elle n'est pas au programme, mais on peut vérifier qu'une fonction en est solution.
Corrigé 1. f ( x ) = x 2 e − x f(x)=x^{2}\mathrm{e}^{-x} f ′ ( x ) = 2 x e − x + x 2 × ( − e − x ) = 2 x e − x − x 2 e − x f'(x)=2x\mathrm{e}^{-x}+x^{2}\times\left(-\mathrm{e}^{-x}\right)=2x\mathrm{e}^{-x}-x^{2}\mathrm{e}^{-x}
2. f ( x ) = ( 2 x + 1 ) e 3 x f(x)=(2x+1)\mathrm{e}^{3x} f ′ ( x ) = 2 e 3 x + 3 ( 2 x + 1 ) e 3 x f'(x)=2\mathrm{e}^{3x}+3(2x+1)\mathrm{e}^{3x}
3. f ( x ) = 1 1 + e − x f(x)=\dfrac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}} f f ℝ \mathbb{R} u ( x ) = 1 + e − x u(x)=1+\mathrm{e}^{-x} u ′ ( x ) = − e − x u'(x)=-\mathrm{e}^{-x} f = 1 u f=\dfrac{1}{u} − u ′ u 2 -\dfrac{u'}{u^{2}} f ′ ( x ) = e − x ( 1 + e − x ) 2 f'(x)=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} 1 − f ( x ) = 1 + e − x 1 + e − x − 1 1 + e − x = e − x 1 + e − x 1-f(x)=\frac{1+\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}}-\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}=\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} f ( x ) ( 1 − f ( x ) ) = 1 1 + e − x × e − x 1 + e − x = e − x ( 1 + e − x ) 2 f(x)\big(1-f(x)\big)=\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}\times\frac{\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} =\frac{\mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}
Thèmes équation différentielle, équation y' = ay + b, vérifier une solution, équation logistique
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