ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · L'équation $y'=ay$

Exercice 5

Calcul

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations différentielles suivantes. On identifiera à chaque fois la valeur de $a$ .

a) $y'=3y$

b) $y'=-2y$

c) $y'=0{,}5\,y$

d) $y'+4y=0$

e) $2y'=6y$

f) $3y'+y=0$

Corrigé

D'après le théorème 1, les solutions de $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$ , où $C$ est une constante réelle quelconque.

\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & \text{Équation} & \text{Forme }y'=ay & \text{Solutions} \\ \hline \text{a)} & y'=3y & a=3 & x\mapsto C\mathrm{e}^{3x} \\ \hline \text{b)} & y'=-2y & a=-2 & x\mapsto C\mathrm{e}^{-2x} \\ \hline \text{c)} & y'=0{,}5\,y & a=0{,}5 & x\mapsto C\mathrm{e}^{0,5x} \\ \hline \text{d)} & y'+4y=0 & y'=-4y\text{, }a=-4 & x\mapsto C\mathrm{e}^{-4x} \\ \hline \text{e)} & 2y'=6y & y'=3y\text{, }a=3 & x\mapsto C\mathrm{e}^{3x} \\ \hline \text{f)} & 3y'+y=0 & y'=-\frac{1}{3}y\text{, }a=-\frac{1}{3} & x\mapsto C\mathrm{e}^{-\frac{x}{3}} \\ \hline \end{array}

On notera que a) et e) sont la même équation : diviser les deux membres par $2$ ne change ni l'équation ni ses solutions.

équation différentielle, équation y' = ay