ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · L'équation $y'=ay$

Exercice 6

Calcul

Déterminer dans chaque cas l'unique solution vérifiant la condition initiale donnée.

a) $y'=2y$ et $y(0)=5$

b) $y'=-y$ et $y(0)=-3$

c) $y'=3y$ et $y(1)=\mathrm{e}^{3}$

d) $y'=-0{,}5\,y$ et $y(2)=4$

e) $y'+5y=0$ et $y(0)=2$

f) $y'=4y$ et $y(-1)=1$

Corrigé

a) Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{2x}$ . La condition donne $C\mathrm{e}^{0}=C=5$ : $\boxed{f(x)=5\mathrm{e}^{2x}}$

b) Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}$ , et $C=-3$ : $\boxed{f(x)=-3\mathrm{e}^{-x}}$

c) Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{3x}$ . La condition s'écrit $C\mathrm{e}^{3}=\mathrm{e}^{3}$ , donc $C=1$ : $\boxed{f(x)=\mathrm{e}^{3x}}$

d) Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{-0,5x}$ . La condition donne $C\mathrm{e}^{-1}=4$ , donc $C=4\mathrm{e}$ : $f(x)=4\mathrm{e}\times\mathrm{e}^{-0,5x} \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{f(x)=4\mathrm{e}^{1-0,5x}}$

e) L'équation s'écrit $y'=-5y$ , de solutions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-5x}$ , et $C=2$ : $\boxed{f(x)=2\mathrm{e}^{-5x}}$

f) Les solutions sont $x\mapsto C\mathrm{e}^{4x}$ . La condition donne $C\mathrm{e}^{-4}=1$ , donc $C=\mathrm{e}^{4}$ : $\boxed{f(x)=\mathrm{e}^{4x+4}}$

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Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local L'exponentielle, réciproque du logarithme

Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay, condition initiale

Notions

équation différentielle, exponentielle