ExerciceTerminale, chapitre 8 — Équations différentielles · Notion d'équation différentielle

Exercice 2

DémonstrationCalcul

Parmi les six fonctions suivantes, déterminer lesquelles sont solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=-3y$ . Justifier chaque réponse.

a) $f_{1}(x)=\mathrm{e}^{-3x}$

b) $f_{2}(x)=-3\mathrm{e}^{x}$

c) $f_{3}(x)=5\mathrm{e}^{-3x}$

d) $f_{4}(x)=\mathrm{e}^{3x}$

e) $f_{5}(x)=0$

f) $f_{6}(x)=\mathrm{e}^{-3x}+1$

Corrigé

Fonction	$f'(x)$	$-3f(x)$	Solution ?
$f_{1}(x)=\mathrm{e}^{-3x}$	$-3\mathrm{e}^{-3x}$	$-3\mathrm{e}^{-3x}$	oui
$f_{2}(x)=-3\mathrm{e}^{x}$	$-3\mathrm{e}^{x}$	$9\mathrm{e}^{x}$	non
$f_{3}(x)=5\mathrm{e}^{-3x}$	$-15\mathrm{e}^{-3x}$	$-15\mathrm{e}^{-3x}$	oui
$f_{4}(x)=\mathrm{e}^{3x}$	$3\mathrm{e}^{3x}$	$-3\mathrm{e}^{3x}$	non
$f_{5}(x)=0$	$0$	$0$	oui
$f_{6}(x)=\mathrm{e}^{-3x}+1$	$-3\mathrm{e}^{-3x}$	$-3\mathrm{e}^{-3x}-3$	non

\boxed{\text{Seules } f_{1}, \; f_{3} \text{ et } f_{5} \text{ sont solutions de } y'=-3y}

Ces trois fonctions sont bien de la forme $C\mathrm{e}^{-3x}$ , avec respectivement $C=1$ , $C=5$ et $C=0$ : elles correspondent exactement à la description du théorème 1. La fonction $f_{6}$ montre qu'ajouter une constante détruit la propriété : c'est le second membre qui distingue $y'=ay$ de $y'=ay+b$ .

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Thèmes

équation différentielle, équation y' = ay, vérifier une solution

Notions

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