AnnalesBaccalauréat

Bac Centres étrangers Terminale 2023 — Jour 2, 22 mars 2023 (Centres étrangers groupe 2)

Fonction logistique et point d'inflexion, fonction logarithme et suite récurrente, géométrie dans l'espace et volume d'un cône, QCM sur la loi binomiale · 4 pages

Sujet (PDF)Corrigé APMEP

Sujet et corrigé publiés par l'APMEP.

Le premier exercice lit graphiquement la tangente et la convexité de $f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-3x}}$ , puis étudie cette fonction : dérivée, croissance, limites, résolution exacte de $f(x) = 0{,}99$ , signe de $f''$ , point d'inflexion $A$ et position de la courbe par rapport à sa tangente en 0. Le deuxième étudie $f(x) = x - \ln(1 + x)$ sur $\left]-1, +\infty\right[$ , puis la suite $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ avec $u_0 = 10$ : positivité par récurrence, décroissance, convergence et limite. Le troisième montre que le triangle $ABC$ est rectangle, vérifie l'équation $-x + y - 2z + 5 = 0$ du plan $(ABC)$ , montre que le projeté orthogonal de $S$ sur ce plan est $H(0 ; -1 ; 2)$ , calcule la distance $SH$ puis le volume du cône de sommet $S$ dont la base est le disque de centre $H$ passant par $B$ . Le quatrième est un QCM sur une loi binomiale modélisant des pièces défectueuses, qui se termine par une fonction Python de seuil.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Fonction $f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-3x}}$ : variations, limites, convexité et point d'inflexion p. 1–2

Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Fonctions convexes · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = \frac{1}{1 + \mathrm{e}^{-3x}}$ , lecture graphique, tangente, limites, point d'inflexion, position relative de la courbe et de la tangente

Exercice 2 — Fonction $x - \ln(1 + x)$ et suite $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ : récurrence, monotonie et limite p. 2

Suites numériques · Fonctions exponentielle et logarithme · Dérivabilité · Limites de fonctions et asymptotes — $f(x) = x - \ln(1 + x)$ , $f(x) = \ln\left(\frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x}\right)$ , $u_{n+1} = u_n - \ln(1 + u_n)$ , raisonnement par récurrence, suite décroissante minorée, limite d'une suite

Exercice 3 — Triangle rectangle, plan $(ABC)$ , projeté orthogonal et volume d'un cône p. 3

Géométrie vectorielle dans l'espace — triangle rectangle, $-x + y - 2z + 5 = 0$ , représentation paramétrique, projeté orthogonal sur un plan, distance, aire d'un disque, volume d'un cône

Exercice 4 — QCM sur la loi binomiale : pièces défectueuses et fonction Python de seuil p. 3–4

Lois de Bernoulli et binomiale · Informatique et algorithmique — QCM, loi binomiale, tirage avec remise, $p(3 < X \leqslant 7)$ , probabilité d'au moins un succès, algorithme de seuil

Dans l'édifice

Exponentielle et logarithme Dérivabilité Limite d'une fonction en un point Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels et sous-espaces Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Théorème de définition par récurrence