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CAPES externe 2015 — Écrit disciplinaire appliqué

Chiffrement multiplicatif et chiffrement de Hill ; coefficients binomiaux et marche aléatoire sur un axe · 8 pages

Le premier problème démontre les théorèmes de Bézout et de Gauss, les met en œuvre dans un chiffrement lettre à lettre ( $y$ reste de $ex$ modulo $n$ , clé de décodage obtenue par l'algorithme d'Euclide étendu programmé sur tableur), puis étudie le chiffrement de Hill par blocs de deux lettres à l'aide d'une matrice $2\times 2$ inversible modulo 26. Le second problème établit les propriétés des coefficients binomiaux par dénombrement de chemins dans un arbre, en déduit l'espérance de la loi binomiale, puis étudie une marche aléatoire simple sur un axe : probabilité de retour à l'origine, algorithmes de simulation et espérance du nombre de passages à l'origine, avec des questions sur l'exploitation en classe.

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie A — Un chiffrement monographique p. 2–4

PGCD, Bézout, Gauss · Cryptographie · Congruences et Z/nZ · Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique — théorème de Bézout, théorème de Gauss, algorithme d'Euclide étendu, inverse modulo $n$ , clé de décodage, tableur, chiffrement multiplicatif

Problème 1, Partie B — Chiffrement de Hill p. 4–5

Cryptographie · Calcul matriciel · Congruences et Z/nZ · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Enseignement et didactique — chiffrement de Hill, matrice inversible modulo 26, matrice carrée d'ordre 2, déterminant inversible dans $\mathbb{Z}$ , inverse d'une matrice à coefficients entiers, chiffrement digraphique

Problème 2, Partie A — Coefficients binomiaux et loi binomiale p. 6–7

Coefficients binomiaux · Lois de Bernoulli et binomiale · Dénombrement de configurations · Enseignement et didactique · Espérance, variance, moments — arbre de probabilités, formule de Pascal, double dénombrement, nombre de chemins, parties à $p$ éléments, espérance de la loi binomiale

Problème 2, Partie B — Marche aléatoire sur un axe gradué p. 7–8

Marches aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Espérance, variance, moments · Informatique et algorithmique · Enseignement et didactique · Coefficients binomiaux — marche aléatoire simple, retour à l'origine, nombre de passages à l'origine, variables indicatrices, algorithme de simulation, raisonnement par récurrence

Dans l'édifice

PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Les anneaux ℤ/nℤ Théorème de définition par récurrence Principe de récurrence Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Ensembles finis et principe des tiroirs Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus