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CCINP PC 2011 — Mathématiques

Droites des moindres carrés · 6 pages

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Le problème étudie les deux droites des moindres carrés d'un nuage de points du plan, régression de $y$ en $x$ et de $x$ en $y$ . Il les calcule d'abord pour trois points, puis les interprète dans un espace préhilbertien comme des projections orthogonales, en introduisant moyenne, écart type, covariance et coefficient de corrélation $\rho$ , ce qui donne les équations $(y - m_y)/\sigma_y = \rho(x - m_x)/\sigma_x$ et leur symétrique. Une partie sur les matrices de Gram (matrice symétrique à spectre strictement positif associée à une base, bases adaptées) prépare le cas général : les deux droites se coupent à l'isobarycentre des points, et l'on caractérise le cas où elles sont orthogonales.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Droites des moindres carrés dans un cas particulier p. 1–2

Projection orthogonale et moindres carrés · Extrema et optimisation · Géométrie affine et euclidienne — droite de régression, moindres carrés, mise sous forme canonique, isobarycentre, droites orthogonales

Partie II — Résultats sur un espace préhilbertien réel p. 2–4

Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Covariance et corrélation · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Statistique : estimation et tests — projection orthogonale, distance à un sous-espace, orthogonal d'un sous-espace, coefficient de corrélation, écart type, covariance

Partie III — Base adaptée à un produit scalaire dans un espace euclidien p. 4–5

Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Théorème spectral · Procédé de Gram-Schmidt · Diagonalisation — matrice de Gram, matrice d'un produit scalaire, changement de base, base orthonormée, matrice définie positive, spectre

Partie IV — Droites des moindres carrés dans le cas général p. 5–6

Projection orthogonale et moindres carrés · Statistique : estimation et tests · Covariance et corrélation · Géométrie affine et euclidienne — droites des moindres carrés, nuage de points, régression linéaire, isobarycentre, coefficient de corrélation

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications différentiables Espaces vectoriels et sous-espaces Théorème de représentation de Riesz Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Matrices d'une application linéaire