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Mines-Ponts MP 2013 — Maths 2

Quelques propriétés géométriques du groupe orthogonal · 5 pages

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Le sujet munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire $(A, B) \mapsto \operatorname{tr}({}^t\!A\, B)$ , établit la décomposition polaire $A = US$ , la caractérisation du projeté sur un convexe compact et le théorème de Carathéodory. Il en déduit que l'enveloppe convexe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ est la boule unité fermée de la norme d'opérateur subordonnée à la norme euclidienne, puis que les points extrémaux de cette boule sont exactement les matrices orthogonales.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie A — Produit scalaire de matrices p. 2

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Matrices symétriques positives · Théorème spectral — produit scalaire de Frobenius, trace, base orthonormée, matrice symétrique positive

Partie B — Décomposition polaire p. 3

Valeurs singulières et conditionnement · Matrices symétriques positives · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Isométries et groupe orthogonal · Théorème spectral — décomposition polaire, adjoint, racine carrée d'un endomorphisme positif, automorphisme orthogonal, norme subordonnée

Parties C et D — Projeté sur un convexe compact, théorème de Carathéodory p. 3–4

Ensembles convexes · Compacité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — projection sur un convexe, enveloppe convexe, théorème de Carathéodory, combinaison convexe, simplexe

Partie E — Enveloppe convexe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ p. 4

Ensembles convexes · Matrices orthogonales et rotations · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Valeurs singulières et conditionnement · Compacité — enveloppe convexe du groupe orthogonal, boule unité, norme subordonnée, séparation par projection, décomposition polaire

Partie F — Points extrémaux p. 5

Ensembles convexes · Valeurs singulières et conditionnement · Matrices orthogonales et rotations · Normes subordonnées et applications linéaires continues — points extrémaux, boule unité, décomposition en valeurs singulières, matrices orthogonales, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Matrices d'une application linéaire Applications linéaires continues et dual topologique Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Hahn-Banach Compacité