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Mines-Ponts PC 2024 — Maths 2

Problème inverse pour les matrices de distance euclidienne · 6 pages

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Le sujet étudie les matrices de distance euclidienne (MDE), dont les coefficients sont les carrés des distances entre $n$ points. Il établit d'abord que l'ordre d'une matrice de Hadamard est $1$ , $2$ ou un multiple de $4$ , puis démontre le théorème de Courant-Fischer et une factorisation des matrices symétriques. Il caractérise les MDE par la positivité de $-PDP/2$ , où $P$ est la projection orthogonale sur l'orthogonal du vecteur $e = (1, \dots, 1)$ , montre qu'une MDE non nulle a exactement une valeur propre strictement positive et une trace nulle, puis construit, à l'aide d'une matrice de Hadamard, une MDE de spectre prescrit.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Matrices de Hadamard p. 2–3

Matrices remarquables · Matrices orthogonales et rotations · Arithmétique des entiers — matrice de Hadamard, matrice orthogonale, coefficients $\pm 1$ , ordre multiple de $4$ , opérations sur les lignes

Partie 2 — Quelques résultats sur les endomorphismes symétriques p. 3–4

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Théorème spectral · Matrices symétriques positives · Espaces vectoriels et dimension — théorème de Courant-Fischer, caractérisation min-max des valeurs propres, base orthonormée de vecteurs propres, factorisation $M = B^\top B$ , formule de Grassmann

Partie 3 — Caractérisation des matrices de distance euclidienne p. 4–5

Matrices symétriques positives · Projection orthogonale et moindres carrés · Géométrie affine et euclidienne · Calcul matriciel — matrice de distance euclidienne, projection orthogonale, matrice de Gram, matrice symétrique positive, bijection réciproque

Parties 4 et 5 — Spectre des MDE et problème inverse p. 5–6

Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Matrices remarquables · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations — spectre d'une matrice de distance, trace nulle, unique valeur propre positive, problème inverse spectral, matrice de Hadamard normalisée

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Espaces de Hilbert et théorème de projection Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs