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Mines-Ponts PSI 2012 — Maths 2

Fonctions d'endomorphismes · 4 pages

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Le sujet définit $f(t)$ pour un endomorphisme symétrique $t$ et une fonction $f$ définie sur un intervalle contenant son spectre, en agissant par $f(\lambda)$ sur chaque sous-espace propre, et en établit les propriétés (polynômes, produit, inverse, racine carrée) après avoir caractérisé les valeurs propres extrêmes par le quotient de Rayleigh. Il étudie l'ordre de Löwner $t_2 \geqslant t_1$ sur les endomorphismes symétriques, montre que $t \mapsto t^2$ n'est pas croissante pour cet ordre alors que $t \mapsto -1/t$ et $t \mapsto \sqrt{t}$ le sont, puis démontre l'inégalité de Löwner-Heinz : $t \mapsto t^a$ est croissante pour $0 < a < 1$ , à l'aide d'une représentation intégrale de $t^a$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Fonctions d'endomorphismes symétriques p. 1–3

Théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Matrices symétriques positives · Interpolation polynomiale · Polynômes d'endomorphismes — quotient de Rayleigh, endomorphisme symétrique positif, fonction d'un endomorphisme symétrique, racine carrée d'un endomorphisme positif, calcul fonctionnel, sous-espaces propres

Partie 2 — Relation d'ordre sur les endomorphismes symétriques p. 3

Matrices symétriques positives · Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer — ordre de Löwner, relation d'ordre partielle, opérateur croissant, inverse d'un endomorphisme défini positif, racine carrée croissante, fonction carré non croissante

Partie 3 — Inégalité de Löwner-Heinz p. 3–4

Matrices symétriques positives · Intégrales généralisées et intégrabilité · Théorème spectral · Intégrales à paramètre — inégalité de Löwner-Heinz, fonction puissance $t^a$ , représentation intégrale, intégrale d'une fonction à valeurs matricielles, base orthonormée de vecteurs propres, opérateur croissant

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Anneaux de polynômes Applications linéaires Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée