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X-ENS PSI 2016 — Maths

Théorème de Broyden, théorème de Tucker et lemme de Farkas · 7 pages

Le sujet démontre le théorème de Broyden : pour toute matrice orthogonale $O$ , il existe $x$ strictement positif et une unique matrice diagonale de signes $S$ telle que $Ox = Sx$ . Après l'étude du cas $n = 2$ (réflexions et rotations), il établit l'équivalence avec le théorème de Tucker (pour $M$ antisymétrique, il existe $u \geqslant 0$ avec $Mu \geqslant 0$ et $u + Mu > 0$ ) grâce à une matrice par blocs et à la transformée de Cayley $(I + M)^{-1}(I - M)$ , prouve le théorème de Broyden par récurrence sur la dimension, puis en déduit le lemme de Farkas.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Préliminaire p. 3–4

Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalités classiques — théorème de Broyden, matrice diagonale de signes, vecteur strictement positif, matrice orthogonale, inégalités vectorielles

Partie A — Le cas $n = 2$ p. 4

Matrices orthogonales et rotations · Géométrie affine et euclidienne — réflexion, rotation du plan, vecteur positif, discussion selon l'angle

Partie B — Le théorème de Tucker p. 4–5

Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs · Optimisation sous contraintes d'inégalité · Espaces préhilbertiens et euclidiens — théorème de Tucker, matrice antisymétrique, transformée de Cayley, matrice par blocs, inversibilité de $I + M$

Partie C — Preuve du théorème de Broyden p. 5–7

Matrices orthogonales et rotations · Matrices par blocs · Espaces préhilbertiens et euclidiens — récurrence sur la dimension, décomposition par blocs, matrices orthogonales, produit scalaire, matrice diagonale de signes

Partie D — Lemme de Farkas p. 7

Optimisation sous contraintes d'inégalité · Matrices par blocs — lemme de Farkas, alternative de Farkas, théorème de Tucker, inégalités linéaires

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espaces vectoriels et sous-espaces Matrices d'une application linéaire Applications différentiables