Sous-groupes à un paramètre de GLₙ

$t \mapsto e^{tA}$ est un morphisme continu (Systèmes linéaires, (ii)).

Réciproquement, soit $\gamma$ un morphisme continu. Les intégrales de fonctions matricielles se calculant coefficient par coefficient, $\frac1\varepsilon\int_0^\varepsilon \gamma(s)\,ds \to \gamma(0) = I$ quand $\varepsilon \to 0$ ; par la série de Neumann (Groupe linéaire), $P = \int_0^\varepsilon \gamma$ est inversible pour un $\varepsilon > 0$. Alors $$\gamma(t)P = \int_0^\varepsilon \gamma(t + s)\,ds = \int_t^{t+\varepsilon}\gamma,$$ d'où $\gamma(t) = \big(\int_t^{t+\varepsilon}\gamma\big)P^{-1}$, dérivable par le théorème fondamental.

En dérivant $\gamma(t + h) = \gamma(t)\gamma(h)$ en $h = 0$, $\gamma'(t) = \gamma(t)A$ avec $A = \gamma'(0)$ ; $\gamma$ et $t \mapsto e^{tA}$ sont deux solutions de $Y' = YA$ valant $I$ en $0$, la seconde parce que sa dérivée $Ae^{tA}$ est égale à $e^{tA}A$ (Systèmes linéaires, (ii)).

Leurs transposées ${}^t\gamma$ et ${}^t(e^{tA})$ vérifient donc $Z' = {}^tA\,Z$, système linéaire à coefficients constants, et valent $I$ en $0$. Colonne par colonne, ce sont des solutions définies sur $\mathbb R$ tout entier qui coïncident en $0$ ; elles coïncident partout (Solutions maximales, (i)), et $\gamma(t) = e^{tA}$.