Exercice 4

1. On développe en utilisant les identités remarquables.

(a) $2(x-3)^{2}+1 = 2(x^{2}-6x+9)+1 = 2x^{2}-12x+18+1$, d'où : $$\boxed{f(x)=2x^{2}-12x+19}$$

(b) $-(x+2)^{2}-3 = -(x^{2}+4x+4)-3 = -x^{2}-4x-4-3$, d'où : $$\boxed{f(x)=-x^{2}-4x-7}$$

2. On utilise $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$, la forme canonique étant $f(x)=a(x-\alpha)^{2}+\beta$.

(a) $\alpha = \dfrac{6}{2}=3$ et $\beta = f(3)=9-18+11=2$, d'où : $$\boxed{f(x)=(x-3)^{2}+2}$$

(b) $\alpha = -\dfrac{5}{2}$ et $\beta = f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}=-\dfrac{25}{4}$, d'où : $$\boxed{f(x)=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{25}{4}}$$

(c) $\alpha = -\dfrac{8}{4}=-2$ et $\beta = f(-2)=8-16+5=-3$, d'où : $$\boxed{f(x)=2(x+2)^{2}-3}$$

(d) $\alpha = -\dfrac{6}{-6}=1$ et $\beta = f(1)=-3+6-1=2$, d'où : $$\boxed{f(x)=-3(x-1)^{2}+2}$$

Piège : le coefficient $a$ se retrouve tel quel devant le carré. Écrire $f(x)=(x+2)^{2}-3$ à la question (c) donnerait un trinôme dont le coefficient dominant vaut $1$, et non $2$.