Exercice 5

Dans chaque cas, on calcule $\Delta$, puis $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$, avant de dresser le tableau de variations.

1. $\Delta = 16-20 = -4$, $\alpha = -2$ et $\beta = \dfrac{4}{4}=1$ : $$\boxed{f(x)=(x+2)^{2}+1}$$

2. $\Delta = 36-56 = -20$, $\alpha = 3$ et $\beta = \dfrac{20}{4}=5$ : $$\boxed{f(x)=(x-3)^{2}+5}$$

3. $\Delta = 4+24 = 28$, $\alpha = -1$ et $\beta = -\dfrac{28}{4}=-7$ : $$\boxed{f(x)=(x+1)^{2}-7}$$

4. $\Delta = 25-16 = 9$, $\alpha = -\dfrac{5}{2}$ et $\beta = -\dfrac{9}{4}$ : $$\boxed{f(x)=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^{2}-\dfrac{9}{4}}$$

5. $\Delta = 81-60 = 21$, $\alpha = -\dfrac{9}{6}=-\dfrac{3}{2}$ et $\beta = -\dfrac{21}{12}=-\dfrac{7}{4}$ : $$\boxed{f(x)=3\left(x+\dfrac{3}{2}\right)^{2}-\dfrac{7}{4}}$$

6. $\Delta = 4+16 = 20$, $\alpha = -\dfrac{2}{-4}=\dfrac{1}{2}$ et $\beta = -\dfrac{20}{-8}=\dfrac{5}{2}$ : $$\boxed{f(x)=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{5}{2}}$$

Piège : seul le dernier trinôme a $a<0$ ; c'est le seul dont le tableau de variations commence par une croissance et dont $\beta$ est un maximum.